第三章 杆件的内力.ppt

1、1,3.1 内力、截面法,3.2 内力方程和内力图,3.3 直梁微段平衡微分关系,第三章 杆件的内力,返回主目录,2,前两章，将物体视为刚体，讨论其平衡。 事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。 属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究： 1) 力和平衡条件的研究。 2) 变形几何协调条件的研究。 3) 力与变形之关系的研究。,变形固体的力学分析方法,3,物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体，内力才能显示。,内力分布在截面上。向截面形心简化，内力一般可表示为六个，由平衡方程确定。,

2、处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。,1.内力:,沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有三个反力、三个反力偶)。,3.1 内力、截面法,4,最一般情况：,截面内力有六个分量。,轴向拉压内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 剪切 内力为剪力。 弯曲 内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁),基本变形,返回主目录,2.内力分量,扭 转,5,轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FS 作用于截面切向。 扭矩 T 作用于截面切向。 弯矩 M 使物体发

3、生弯曲。,6,3. 截面法,无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内力。因为，二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。,用假想截面将物体截开，并由平衡方程确定截面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为：,求约束反力,注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。,7,例 作图示拉压杆的内力分量。,2）求各截面内力(轴力)。 截面法、平衡方程,解：1）求约束反力。 FA=8+2-5=5 kN,8,例：具有纵向对称面得悬臂梁受力如图所示，外力均作用在该平面（xy平面）内。试求m-m截面上的内力分量。,9,3.2.1

4、轴力图,3.2 内力方程和内力图,10,例 截面积为A的等直杆，单位体积重量为，求 杆在自重作用下的内力。,解：考虑任一距O点为x的横截面 上的内力，受力如图。 重力为W=Ax, 由平衡方程得： 轴力方程：FN=W=Ax,绘出轴力图，可见： A截面处内力F N(=AL)最大。,11,研究对象： 圆截面直杆,受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0,变形特征：相对扭转角 fAB 圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。,传动轴,1 扭转的概念与实例,返回主目录,3.2.2 轴的扭转与扭矩图,12,扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。,2 扭矩与扭矩

5、图,返回主目录,13,14,扭矩的符号规定：,按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。,15,以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。,画扭矩图：,16,简捷画法：,在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。,FN图（轴力）,T 图,17,试作扭矩图,T 图,求反力偶：,T 图,返回主目录,18,截面法求内力的步骤：,求约束反力,用截面法作梁的内力图,3 梁的剪力图和弯矩图,19,例 求悬臂梁各截面内力并作内力图。,解：1）求约束力。 画受力图。,由平衡方程得：

6、 FAx=0; FAy=F; MA=Fl,2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设，,在0 xl内，有平衡方程： SFy=FAy-FS=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FS=F； M=-F(l-x),3) 画内力图。,悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。,20,例：简支梁受集中力F作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：（1）求得梁的支反力,AC段的剪力和弯矩方程,CB段的剪力和弯矩方程,从图看出，剪力值在集中力作用的C处有突然变化，其突变量等于集中力F的数值； 而C处的弯矩值并没有突然变化，但弯矩图斜率在C处发生了突变，故最大弯矩值就发生在截面C。,21

7、,例：简支梁在C处受一集中力偶Mo的作用，试作内力图。,求得梁的支反力为,AC段的剪力和弯矩方程,CB段的剪力和弯矩方程,任一截面的剪力值均为常量，故剪力图是一条平行于轴x的直线图；左右两段的弯矩方程均为x的一次函数，故左右两段的弯矩图均为斜直线，但在集中力偶作用的截面C处发生突变其突变量就等于Mo。,22,例：简支梁承受集度为q的均布载荷，试列出内力方程并作内力图。,剪力图为一斜直线； 弯矩图为一抛物线，在A、B两截面的弯矩值均等于零，在梁跨度中点横截面上有最大弯矩值。,23,例：位于水平面内的曲杆，AB与BC互成直角，A端固定，在自由端C处承受铅垂力F作用。试作杆AB的内力图。,解：(1)

8、化简,分析杆AB的内力，可将F向截面B的形心简化，简化后的等效力系为作用于杆端B得集中力F和力偶矩为Fa的力偶.,(2)内力分量有剪力、弯矩和扭矩,由截面法求得,24,例 求外伸梁AB的内力。,解：1）求约束反力： 受力如图。,截面法求内力( 取坐标如图) 0 xa:,FN=0; FS=-F; M=-Fx,25,例 求外伸梁的内力。,ax2a:,2a x3a:,2) 截面法求内力 0 xa: FN=0; FS=-F; M=-Fx,FN=-F；FS=3F-F=2F,M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a),FN=-F； FS=3F-F-3F=-F,M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =

9、F(3a-x),26,内力方程： 截面法给出的描述 内力与截面位置关系。,3) 画内力图：,内力图： 按内力方程绘出 各截面内力的图。,27,作梁的内力图的 一般步骤,求约束反力,受力图,28,例 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。,解：1）求约束反力：,MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kN,Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0,截面法求内力 AB段: 0 x14m,Fy=FAy-qx1-FS1=0 FS1=49-9x1,29,例 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。,2)

10、截面法求内力 BC段: 4mx26m,Fy=FAy-4q-FS2=0 FS2=13kN,Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm),CD段: 6mx38m,DE段: 8mx412m,FS3=13kN; M3=13x3+24(kNm),FS4=-32kN; M4=384-32x4(kNm),30,取右边部分如何? DE段: 8mx412m,FS4=-FE=-32kN M4=FE(12-x4) =384-32x4,内力同样要按正向假设!,结果应当相同。可以用于验算。,31,分段处的剪力弯矩值： x1=0: FSA=49；MA=0,x4=8: FSD=-32

11、；MD=128,x2=4: FSB=13；MB=124,x3=6: FSC=13；MC=150,x36: MC102 x48: FSD13,注意：集中力 (力偶) 作用处左右二侧FS (M) 不同。,32,剪力、弯矩图：,注意：C、D处左右二侧M、FS 之差等于该处的集中力偶、集中力。,还有什么一般规律？,返回主目录,33,一、剪力、弯矩与分布载荷间的关系,考察承受分布载荷、长dx 的微梁段的受力与平衡。,假定q(x)向上为正，截面内力FS、M均按正向假设。,平衡方程：SFy=FS+q(x)dx-(FS+dFS)=0,在x+dx截面上，FS、M均有相应的增量。,SMC(F)=M+dM-M-FS

12、dx-q(x)dx2/2=0,2 利用平衡微分关系作梁的内力图,返回主目录,34,分布载荷集度、剪力和弯矩之间的关系,整理并略去二阶小量，得到：,q(x)dx=dFS(x) dM(x)=FS(x)dx,35,讨论：q FS-M关系:,结论一： 剪力延坐标x的变化率等于分布载荷集度，即FS图中曲线上某点的斜率等于梁上对应截面处的载荷集度q。q=0，FS图为水平线。,结论二：弯矩M延坐标x的变化率等于剪力FS，即M图曲线某点的斜率等于对应截面上的剪力。,36,结论三： 二截面间剪力的增量等于该段梁上分布载荷图形的面积。,结论四：二截面间的弯矩增量等于该段梁上剪力图的面积。,若梁段AB只有q作用的，

13、则,37,FS等于分布载荷左边图形面积 +向上的集中力,M等于FS图左边面积+顺时针集中力偶,由此，可给出梁剪力、弯矩图的简捷画法。,38,FS、M图的简捷画法 ：,3）依据微分关系判定控制点 间各段 FS、M图的形状， 连接各段曲线。,-,+,+,150,102,39,解：1.求支座反力,45,例 作图示外伸梁的 FQ、M图。,2）画FS、M图 从左起，计算控制点的FS、M值。 由微分关系判断线形。,3）检查图形是否封闭。,40,例 梁AC、CB在C处铰接，试作内力图。,解：1.求支座反力,3）检查图形是否封闭。,MB=qa(3.5a)+qa(2a) -4aFA-qa2=2.5qa2,2）计算控制点的FS、M 值， 由微分关系判断 图形。,41,例：外伸梁承受载荷如图所示，已知q,a