量子力学复习题.ppt

1、Ex.1 求经电势差为V伏特的电场加速后的电子的波长。,（1纳米=10-9m）,能量,电子波长比可见光的波长（10-7m）小5个数量级，比原子的半径（0.1 - 0.2纳米）还小得多。,波长太小, 在宏观上测不到！,Ex.2 求飞行的子弹 ，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长,归一化常数,Solve:,归一化的波函数,(1).求归一化的波函数,2.1 波函数的统计解释（续13）,（2）几率分布：,（3）由几率密度的极值条件,由于,故 处，粒子出现几率最大。,2.1 波函数的统计解释（续14）,1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每个状态由哪几个波函数描写。,补充作

2、业题,下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？,（1）,（2）,（3）,思考题,（2）电子的第n 个能级 En 是 n2 度简并的,粒子处在束缚态，对于第 个能级 ，角量子数取 ，共 个值；对于一个 值，磁量子数 可取 ，共 个值。因此，对于第 个能级 ，共有,个波函数，即 的简并度为n2,Ex.,n = 2 时，E2 是4度简并的，对应的波函数有,库仑场中电子的能级 只与 有关，与 无关，对 简并，这是库仑场所特有的。,3.3 电子在库仑场中的运动（续13）,Solve,3.6 算符与力学量的关系（续）,在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值,Solve:,基态波函数：

3、,动量算符的本征函数：,3.6 算符与力学量的关系（续）,其中,3.6 算符与力学量的关系（续）,与动量值 的大小有关，与 的方向无关，由此得到动量 的几率分布,3.6 算符与力学量的关系（续）,Prove,设 为任一可微函数,特别地，当 代入上对易式，即证得,同理可证：,3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）,Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。,3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）,Ex.1动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系,Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。,Ex.4 坐标算符与

4、动量算符不对易 ，故 一般不可同时具有确定值。,3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续10）,Prove:,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理,由于在 本征态 中，测量力学量 有确定值，所以 均方偏差必为零，即,Ex.1 利用测不准关系证明，在 本征态 下，,（1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值。 （4）若 =常数， 和 能否有共同本征态。 （5）角动量分量 和 能否有共同本征态。,思考题,3.7 算符对易

5、关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8),证,（归一化条件）,命题,若 是归一化波函数，则 也归一。,4.1 态的表象（续）,归一化条件,（归一化条件的矩阵 表述形式）,Ex.1.,4.1 态的表象（续）,动量本征函数,Solve,选择动量表象:,展开系数：,4.1 态的表象（续）,能量表象：,本征函数,可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取符号形式。,4.1 态的表象（续）,Ex.2:,Solve：,自由粒子动量算符的本征函数,求自由粒子动量算符 具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式,Ch.4 The representation for the states and d

6、ynamical variable,动量算符 具有确定本征值 的本征函数:,可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数在动量自身表象中是以动量 为变量的函数。,4.1 态的表象（续）,正交归一,正交归一,量子态矢量：,矢量:,4.1 态的表象（续）,讨论,1 是厄米矩阵,Prove：,显而易见，对角矩阵元为实数,可见，算符 在Q表象中是一个矩阵 ，其矩阵元为,即 是厄米矩阵。,4.2 算符的矩阵表示（续3）,例题:在Q表象的正交归一的基矢只有两个: 算符 有如下性质:,解: 由公式,得到矩阵:,例题:在Q表象的正交归一的基矢只有两个: 算符 有如下性质:,解: 由公式,得到矩阵:,要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,c不全为零，其条件是（1）中的系数矩阵的行列式为零。,（1）,本征值,4.3 量子力学公式的矩阵表示（续8）,当 时， 由（2）有,4.3 量子力学公式的矩阵表示（续9）,由归一化条件:,4.3 量子力学公式的矩阵表示（续10）,归一化常数,归一化的波函数,当 时,由（2）有,4.3 量子力学公式的矩阵表示（续11）,归一化的波函数：,当 ,由（2）有：,4.3 量子力学公式的矩阵表示（续12）,归一化条件,归一化的波函数：,构成一个正交归一本征函数完备系,的对角矩阵,正交归一化条件：,4.3 量子力学公式的矩阵表