第四节、简单的三角恒等变换

1、第四节 简单的三角恒等变换,由三角变换求值或求角,已知cos ，cos() ，且0 . (1)求tan2的值；(2)求的值,分析(1)先求sin，再求tan，最后由二倍角公式求tan2.(2)先求角的余弦值，再求角,解(1),(2) 由0 ，得0 . 又cos() ， 由()得， coscos()coscos() sinsin() .,规律总结三角恒等变换是实现角与角，三角函数与三角函数，三角函数式之间转化的主要运算求值或求角正需要这种有效变化，因此，求值或求角的解题途径主要是，角的变化、函数名称的变化和三角函数式的变化,变式训练1 求,的值,【解析】,由三角变换化简三角函数式,已知tan，t

2、an是方程x24x20的两个实根，化简：cos2()2sin()cos()3sin2(),分析先由已知条件找到角，满足的关系式，再根据该关系式与要化简式子的联系，实施恒等变换,解由已知，有tantan4，tantan2，,规律总结该题目是一个有条件的化简问题化简该三角函数式时，需要借助已知条件，因此，首先要根据已知条件，找到两个角的关系，发现两角和的正切可求由此想到，将已知式子向正切方向转化，最后使式子得以化简，而且求得值,变式训练2 化简,【解析】,由三角变换证明三角恒等式,(1)求证：,(2)已知5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0,分析(1)两边分别切化弦，通过三角变换进行

3、化简 (2)从角入手，进行角的保值变换，出现欲证等式中的角，再由三角变换进行化简,证明(1),左边右边，原等式成立,(2) 把5sin3sin(2)化成 5sin()3sin()，得 5sin()cos5cos()sin 3sin()cos3cos()sin， 移项合并得 2sin()cos8cos()sin0， tan()4tan0.,规律总结(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一，或变更论证； (2)常用方法有：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等； (3)条件恒等式的证明，需要充分依据已知条件，观察条件与结论中角、名称、次数

4、的差异，从而选择不同的公式，进行三角变换,变式训练3 求证：,【证明】,三角恒等变换的综合应用,(12分)已知正实数a，b满足 求b/a的值 .,分析思路一，从方程的观点考虑，将等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于 的方程，从而可求出 .思路二，若注意到等式左边的分子、分母都具有asinbcos的结构，可考虑引入辅助角求解思路三，考虑两角和的正切的形式，引入辅助角,解方法一：由题设得,4分,8分,12分,方法二：,3分,6分,由题设得,8分,12分,方法三：原式可变形为：,4分,8分,10分,12分,规律总结上述解法中，方法一，利用了方程的思想，从方程中求得的 表达式，再由三角

5、变换化至最简；方法二，分子分母分别应用了式子asinbcos sin()和 acosbsin cos()的形式；方法三，通过式子的恒等变形，类比两角和的正切公式，进行角的代换，从而求得角，再求 的值由本例可以看出，三角恒等交换方法多样，要注意总结各方法的优点，熟练运用,变式训练4 已知xR，f(x) sin2x cos2x. (1)若0 x ，求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x) ，求x的值,【解析】f(x) sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x sin . (1)0 x ，当 2x ，即 x时，f(x)为减函数，故f(x)的单调递减区间为,(2)si

6、n = ， 2x 2k或2x 2k， xk(kZ)或x k(kZ),1三角恒等变换的几种主要途径 (1)角的变换：观察角之间的和、差、倍的关系，减少角的种类，化异角为同角 (2)函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名的差异，化异名为同名 (3)常数的变换：常用的方式有1sin2cos2tan ， sin 等,(4)次数的变化：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角的余弦公式及其变形 (5)结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等,2三角函数式的化简 (1)常用方法 直接应用公式进行降次、消项； 切化弦，异名化同名，异角化同角； 三角

7、公式的逆用等 (2)化简要求 能求出值的应求出值； 使三角函数种数尽量少； 使项数尽量少； 尽量使分母不含三角函数； 尽量使被开方数不含三角函数,3三角函数的求值类型 (1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题 (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论 (3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角,4三角等式的证明 (

8、1)三角恒等式的证题思路 根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同” (2)三角条件等式的证题思路 通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明 5形如y asinxbcosx的函数，先转化为ysin() (其中 ) 的形式，再研究性质,已知， ，且tan，tan是方程x23 x40的两个根，则的值为() A. 或 B C 或 D,错解tan，tan是方程x23 x40的两个根， tan(),， ，(，)， 在(，)内正切值等于 的角只有 和 ， 或 .,错解分析没有对条件 进行深入地分析，扩大了的取值范围 事实上，由tantan