自动控制理论 4复域：根轨迹法2.ppt

1、1,根轨迹法 (4-2),2,6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点,分离点或会合点：,3,设系统的开环传递函数,系统特征方程,4,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 和 。因此求得： 消 去，可得到： 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。,5,例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K10，故 舍去； s2代入，求得K10 。所以s2会合点。,

2、(舍去),6,另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到,7,仍以上例说明: 因为 令 求得,(舍去),8,(2) 因为 即 其中 即 所以,-,9,仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面 两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定 要检验，舍去K0所对应的值。,（舍去）,10,复杂情况用试探法。 在-2-3之间存在一个分离点。 所以分离点的位置为,11,7、根轨迹的出射角与入射角,出射角(或入射角)是指根轨迹离开复数极点 (或终止复零点)处切线的倾角。,12,若根轨迹的一个分支离开

3、复极点 的出射角为 ，则 （各零点到 的向量幅角 之和） （其它各极点到 的向量幅角 之和） 若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) (其它各零点到 的向量幅角 之和),13,出射角:,14,8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。 介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数

4、构造的辅助方程求得。,15,. 根之和与根之积,闭环极点之和等于开环极点之和,16,10. 根轨迹上K0值的计算 根轨迹上任一点S1处的K0可由幅值条件来确定。即,17,绘制根轨迹图的规则,18,绘制根轨迹图的规则,19,例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。 解：起点：0，-4，-6 终点：3个无限零点 （1）渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去）,20,（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去),21,22,例2 系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-

5、1+j、-1-j 开环零点：4个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。 渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：0 -3,23,(3)分离点： 利用试探法求得 (4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 、 、 . 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,24,实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令s1行首项为零，即 求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程,(舍去),25,26,P118,例3 已知

6、一单位反馈控制系统的开环传递函数为,试证明该系统根轨迹的复数部分为一圆，分析K对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。,证明：,根据相角条件：,令：,27,即：,等式两端取正切：,28,无论 K 0 取何值，系统的闭环极点均位于s平面的做左侧，系统稳定。,29,习题 - - -（）（）,30,4.3 控制系统性能的复域分析 根轨迹法,31,例1: 设一单位负反馈控制系统的开环传递函数 试画根轨迹。 解：起点：0，-4，-6 终点：3个无限零点 （1）渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去）,32,（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)

7、+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去),33,34,根轨迹分析： 1稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。 2稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳 定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。,35,3动态性能分析： 当0K117时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。 当17K1240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。,36,1. 求K1=15时系统闭环极点；,解：利用幅值条件，用试探法,当s=-1.5, K1=16.875,当s=-1.4, K1=16.744,当s=-1, K1=15,37,2. 求系统阻尼比 时闭环极点；,设,38,39,40,试选择K1，以使系统同