第一章 矢量分析.ppt

1、第一章 矢量分析,标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,常用的矢量恒等式,下 页,上 页,返 回,三种常用的正交坐标系,1.1 标量场和矢量场,1、场的表示,场矢量 A(r)=ex Ax+ ey Ay+ ez Az,电场 E(r)=ex Ex+ ey Ey+ ez Ez,下 页,上 页,返 回,标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）,矢量的表示方式,注：矢量书写时，印刷体为场量符 号加粗，如 E。教材上符号即为印刷体。,位置矢量 : r=ex x+ ey y+ ez z,相

2、对位置矢量: R=ex( x-x)+ ey (y-y)+ez (z-z),下 页,上 页,返 回,人们在书写时常写成:,即:,矢量的运算,说明：矢量间不存在除法运算。,下 页,上 页,返 回,按物理量的性质 标量场 物理量为标量（温度场,电位场） 矢量场 物理量为矢量（电场、磁场）,按物理量变化特性 静态场 物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化,2、场的分类,下 页,上 页,返 回,标量场 f(r)=常数 （如温度、密度、电位、电压 等）,3、场的全微分,dA(r)=ex dAx+ ey dAy+ ez dAz,4、场图,形象描绘场分布的工具-场线,下 页,上

3、 页,返 回,三维场,图1.1.3 矢量线,在直角坐标下:,下 页,上 页,返 回,1、直角坐标系（x，y，z）,1.2 三种常用的正交坐标系,三者成正交右螺旋关系,下 页,上 页,返 回,单位矢量：,图1.2.1 直角坐标,2、圆柱坐标系（r、j 、z）,下 页,上 页,返 回,三者成正交右螺旋关系,单位矢量：,圆柱坐标与直角坐标间的关系：,下 页,上 页,返 回,3、球坐标系（r、q、j）,下 页,上 页,返 回,三者成正交右螺旋关系,单位矢量：,球坐标与直角坐标间的关系：,下 页,上 页,返 回,1.3 矢量场的散度与高斯散度定理,若 ， 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质。,矢量

4、 A 沿有向曲面S 的面积分,1、矢量的通量,下 页,上 页,返 回,对于静电场： ，若f0，说明q0， 电通量由S面向外扩散，f0,电通量向S面内收集，由此可说明电力线从正电荷出发，终止于负电荷。 对于磁场： ，说明S面内无源，磁力线是闭合曲线。,下 页,上 页,返 回,2、矢量的散度,如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在定义为矢量A的散度，即,直角坐标：,下 页,上 页,返 回,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐

5、标点的函数；,散度的物理意义,下 页,上 页,返 回,3、高斯公式(散度定理),图1.3.3 散度定理,由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量,高斯定理,下 页,上 页,返 回,水流沿平行于水管轴线方向 流动=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源,图1.4.1 环量的计算,下 页,上 页,返 回,2、旋度,(1) 环流密度,(2) 旋度,P,旋度,下 页,上 页,返 回,例：一无限长直导线载有电流I，在导线周围产生磁场H（方向如红色环所示）若任取一环路l(蓝色环所示 )，则：,由此可知当rotH与dS方向相同时，即蓝色环与红色环法

6、线方向相同时，环流密度 取得最大值。,下 页,上 页,返 回,在直角坐标系下,(3)旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,下 页,上 页,返 回,A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为:,在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重 要的公式。,图1.4.3 斯托克斯定理,3、斯托克斯(Stockes)定理,斯托克斯定理,

7、下 页,上 页,返 回,梯度:,两者的关系可写成,下 页,上 页,返 回,梯度描述了空间某点处标量场 f(x,y,z) 随位置变化的规律。,电位函数 ：,设一个标量函数f(x,y,z),若函数 f 在点P可微,则 f 在点P沿任意方向的方向导数可由下式推出:,其中:,2、梯度的物理意义,梯度的方向为等值面的法线方向， 它指向函数的增加方向。,下 页,上 页,返 回,例1 电位场的梯度,图1.5.2 电位场的梯度,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,下 页,上 页,返 回,可得出,1.6 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度和旋度唯一地确定；标量场的性质完全有它的梯度来表明。,矢量：,标量：,由斯托克斯定理可得,无旋场是一保守场，即其积分值与路径无关，只与始点和终点的位置有关。,下 页,上 页,返 回,1.7 常用的矢量恒等式,1、积分定理,斯托克斯定理,高斯定理,2、哈密顿算子几个常用恒等式,下 页,上 页,返 回,例 几个常用结论,证明： R=r-r=ex( x-x)+ ey (y-y)+ez (z-z),下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,第一章 小结,1、场矢量 表示： A(r)= A(x,y,z)= A(r,j,z)= A(r,