2017-2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(二)学案 北师大版选修1-1

1、1.2椭圆的简单性质(2)学习目标：1 .进一步巩固椭圆的简单几何性质；2.掌握直线和椭圆之间的位置关系。知识点与椭圆的位置关系想想1。判断点P(1，2)与椭圆Y2=1之间的位置关系。关于类比点与圆的位置关系的判断，你能给出点P(x0，y0)与椭圆=1 (ab0)的位置关系的判断吗？知识点2直线与椭圆的位置关系思考1直线和椭圆之间有多少位置关系？思考2如何判断y=kx m和椭圆=1 (ab0)之间的位置关系？知识点三条相交的直线和椭圆串想想如果直线与椭圆相交，如何找到相交弦的弦长。梳理弦长公式：(1)| ab |=| x1-x2 |=；(2)|AB|=|y1-y2|=。注：直线和椭圆的交点A(

2、x1，y1)、B(x2，y2)和K是直线的斜率。x1 x2，x1+x2，y1 y2，y1+y2的值可以通过将线性方程与椭圆方程相结合，去掉y或x，然后得到一个关于x或y的二次方程来得到.直线和椭圆之间的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判断例1直线y=kx-k 1和椭圆=1之间的位置关系是()A.相交b .相切c .分离d .不确定性反射与感知：判断直线与椭圆位置关系的一种方法(代数法)直线和椭圆联立方程，消去得到一维二次方程：(1)当 0线与椭圆相交时，有两个公共点。(2)与椭圆相切的=0的直线只有一个公共点。(3)0线和椭圆之间没有公共点。在平面直角坐标系xOy中跟踪训练1，直线l和椭

3、圆y2=1经过点(0)和斜率k之间有两个不同的交点p和q，求k的取值范围.命题角度2距离最大值问题例2在椭圆上找到一个点=1，这样从它到直线l: 3x-2y-16=0的距离是最短的，并找到最短的距离。为了反映和理解这些问题，我们可以用数形结合的思想来寻找解决方法，简化操作过程。我们还可以设置我们想要的点的坐标，并使用从点到直线的距离公式来找到最小距离。跟踪训练2知道椭圆x2 8y2=8，在椭圆上找到点p，使点p到直线l的距离：x-y 4=0最短，并找到最短的距离。第二类弦长和中点弦问题例3已知一个椭圆=1和一个点P(4，2)，一条直线l穿过点P并在点a和b与椭圆相交.(1)当直线l的斜率为时，

4、计算线段AB的长度；(2)当p正好是线段AB的中点时，求l的方程.处理直线与椭圆相交关系的一般方法是求解直线与椭圆形成的方程，并利用根与系数的关系或中点坐标公式求解，其中涉及到弦的中点。您也可以使用点差分法：设置字符串两端的坐标，替换椭圆方程，并减去两个公式，得到字符串的中点和斜率之间的关系。跟踪训练3知道椭圆ax2乘以2=1 (A0，b0和ab)和直线x y-1=0在点a和b相交，c是AB的中点。如果| ab |=2，OC的斜率为0，得到椭圆方程。三类椭圆中的最大值(或范围)问题示例4已知椭圆4x2 y2=1和直线y=x m。(1)当直线和椭圆有公共点时，求一个实数m的取值范围；(2)求椭圆

5、切割最长弦的直线方程。扩展查询在例4中，让直线和椭圆在两点A(x1，y1)和B(x2，y2)相交，求出AOB面积的最大值，当AOB面积最大时，得到直线方程。反射几何中有许多综合性的问题，这些问题可以与许多知识联系起来，如不等式、三角函数、平面向量和函数的最大值等。解决(1)求椭圆方程；(2)已知直线L在点A和点B与椭圆相交，并且直线L的方程是y=kX (k0)。如果0是坐标的原点，求OAB的最大面积。1.穿过椭圆中心的直线=1与椭圆的两个交点之间的最大距离为()A.6 B.8 C.10 D.162.穿过椭圆焦点=1且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆之间的相交弦长为()a1 b . 2 c . 3d

6、. 43.如果在直线Y=X 2和椭圆=1之间有两个公共点，那么M的范围是()A.m1 B. m1和m3C.m3 d. m0和m34.直线交点P (-1，1)在点A和点B处与椭圆=1相交。如果线段AB的中点正好是点P，则AB所在的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。直线l: y=kx 1和椭圆y2=1在m和n处相交，和| Mn |=，求出直线l的方程.为了解决直线和椭圆之间的位置关系问题，我们经常使用不求设置的方法。解决问题的步骤如下(1)让直线和椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)直线和椭圆联立方程；(3)通过消去法得到关于x或y的二次方程；(4

7、)利用根与系数的关系来假设而不是寻求；(5)将主干中的条件转换为x1 x2、x1+x2或y1 y2、y1+y2，然后求解它们。答案分析面向问题的学习知识点一当x=1，y2=1，y=2，那么点在椭圆外。当P在椭圆外时，1；p在椭圆上时=1；1当p在椭圆中时。知识点2思维1:有三种位置关系，即相交、相切和分离。想2同时消去Y得到一个关于X的一元二次方程.位置关系解决方案的数量的值交集两种解决方案0正切解决方案=0遥远的没有解决办法0知识点三有两种思路：一种是通过联立线性方程和椭圆方程得到交点的坐标，这可以通过两点间的距离公式得到；另一种是通过弦长公式得到坐标。问题类型查询例1a直线y=kx-k 1

8、=k (x-1) 1通过一个固定点(1，1)，该点在椭圆内，因此它必须与椭圆相交。根据已知条件，跟踪训练1的解表明直线l的方程是y=kx，(kx ) 2=1代入椭圆方程。成品x2 2kx 1=0。直线l和椭圆之间有两个不同的交点p和q，它们相当于=8k 2-4=4k 2-2 0，解决方案是k 。也就是说，k的值范围是。例2:让与椭圆相切并平行于l的直线方程为y=x m，代入=1。并修整至4x 23m2-7=0，=9 m2-16(m2-7)=0 m2=16m=4，因此，两个切线方程是y=x 4和y=x4，很明显y=x-4最接近l，d=，切点是p。跟踪训练2解决了平行于直线x-y 4=0且与椭圆相

9、切的直线x-y a=0的问题，联立方程得到9y2-2ay a2-8=0，=4 a2-36(a2-8)=0，解是a=3或a=-3。更接近直线l的切线方程是x-y+3=0，最小距离为d=。尤德也就是说，点p的坐标是(-，)。实施例3解(1)已知直线l的方程是y-2=(x-4)，也就是说，y=x。如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2-18=0可以通过消除y来获得。那么x1 x2=0，x1x2=-18。所以| ab |=6=3。所以线段AB的长度是3。(2)当直线L的斜率不存在时，它就不是真的。因此，直线l的斜率存在。假设L的斜率是K，那么它的方程是y-2=k(x-4)。y的同时消除(1+4

10、k 2)x2-(32k 2-16k)x+(64k 2-64k-20)=0。如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，X1 x2=，AB的中点正好是P(4，2)，所以=4，解为k=-并满足 0。这时，直线方程是y-2=-(x-4)，也就是说，x 2y-8=0。跟踪训练3求解A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入椭圆方程并使之不同。A (x1 x2) (x1-x2) b (y1 y2) (y1-y2)=0。* A，b是直线上的点x y-1=0，=-1.假设=kOC=，B=a可通过代入公式得到。*直线的斜率k=-1 x y-1=0。和| ab |=| x2-x1 |=|x2-x1|=2，|x2-

11、x1|=2.ax2 by2=1，x y-1=0。我们可以得到(a b) x2-2bx b-1=0。我呢4=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=2-4。将b=a代入等式(2)得到a=，b=.椭圆的方程式是=1。实施例4溶液(1)包括获得5x2 2mx m2-1=0，因为直线和椭圆有共同点，所以=4m2-20 (m2-1) 0。解是- m 。(2)让直线和椭圆在两点A(x1，y1)和B(x2，y2)相交，根据(1)，5x2 2mx m2-1=0，所以x1 x2=-，x1x2=(m2-1)，所以| ab |=。因此，当m=0时，|AB|最大，线性方程为y=X .扩展的查询解决方案可以获得

12、从0到AB的距离，和| ab |=，SAOB=|AB|d=,当且仅当-m2=m2时，等号成立。这时，m=-，。直线方程是x-y=0。跟踪训练4解(1)如果椭圆的偏心率已知，让c=t，a=2t，也就是说，b=t，其中t0，当F1PF2的面积取最大值时，即p点为短轴的端点，因此2tt=，当t=1求解时，椭圆方程为=1。(二)联合设立成品(4k2 3) x2 8kx=0。X1=0或x2=-。* k0，|AB|=|x1-x2|=|-|=，从原点o到直线l的距离是d=。SOAB=，当且仅当4k=，即k=，OAB面积的最大值为。当堂训练1.B 2。D 3。B 4.x-2y+3=05.假设直线L和椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2