2017-2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案新人教A版必修3

1、3.3.1几何概率1.理解几何概率的定义和特征。(要点)2.掌握几何概率的计算方法和求解步骤，准确地将实际问题转化为几何概率问题。(困难)3.与长度和角度相关的几何概率问题(容易混合的点)基础探索教科书安排1几何概括阅读包含1个以上案例的教材P135P136，完成下列问题。1.几何概率的定义如果每个事件的概率只与事件区域的长度(面积或体积)成正比，那么这个概率模型就叫做几何概率模型，简称几何概率模型。2.几何概率的特征(1)测试中有无数可能的结果(基本事件)。(2)每个基本事件的概率相等。3.几何概率的概率公式P(A)=。1.判断(正确键入“”和“错误键入”)(1)几何概率的概率与构成事件的区

2、域的形状无关。()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0，1)以内。()(3)几何概率有许多基本事件。()回答 (1) (2) (3)。2.如图所示，有四个游戏盘。水平稳定后，向它们扔一个小玻璃球。如果球落在阴影里，你就能赢得奖品。如果小明想增加获胜的机会，他应该选择的游戏盘是()【解析】a获胜概率为，b获胜概率为，c获胜概率为，d获胜概率为，所以选择a .回答答3.如果在区间-1，2内随机取一个数x，则|x|1的概率为_ _ _ _ _ _。分辨率*区间-1，2的长度为3，x-1，1由|x|1得到，而区间-1，1的长度为2，x的每个值都是随机的，从-1，2中取一回答教材编排2均匀分布阅读

3、教材P136的示例1及以下内容，完成以下问题。当x是区间a，b中的任意实数并且同样可能时，我们说x服从a，b中的均匀分布，x是a，b中的均匀随机数。X服从3，40上的均匀分布，所以X的值不能等于()A.15 B.25C.35D.45因为X3，40，那么3X40，那么X45。因此，d .答案 D小组合作类型与长度相关的几何概率公共汽车每15分钟到达一个汽车站，乘客到达车站的时间是任意的。获得乘客到达车站后等待超过10分钟的概率。亮点乘客将在末班车离开后5分钟内到达车站，等待时间将超过10分钟。尝试求解如果最后一辆车在时间T1到达，下一辆车在时间T2到达，那么线段T1T2的长度是15，假设t是线段

4、T1T2上的点，并且t1t=5，t2t=10，如图所示。“等待时间超过10分钟”被视为事件A，当乘客到达车站的时间T落在线段T1T(不包括终点)时，事件A发生。P(A)=，也就是说，乘客等待超过10分钟的概率是。在求解与长度相关的几何概率时，首先找出由所有实验结果组成的区域D，当区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段时，再找出与事件a发生相对应的区域D .在寻找区域D的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否得到并不影响事件a发生的概率.再练习一个问题1.红灯亮30秒，黄灯亮5秒，绿灯亮40秒。当你到达十字路口时，看到以下三种情况的概率是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)红灯不亮。【

5、解决方案】在75秒内，十字路口随时都有可能亮起来，这属于几何概率。(1)P=。(2)P=。(3)P=，或者p=1-p(红灯)=1-=。与面积相关的几何概率有一个等边三角形网格，其中每个最小的等边三角形的边长为4厘米。直径等于2厘米的硬币扔在这个格子上，计算硬币落下后与格子没有共同点的概率。奇妙的指向当且仅当硬币中心和网格之间的距离大于半径1时，硬币和网格之间在下落后没有公共点。一条距离正三角形三边1的直线形成一个小的等边三角形。当硬币的中心在小的等边三角形中时，硬币和网格之间没有公共点，因此硬币的中心落在小的等边三角形中的问题被转化。试解让a=硬币下落后与网格之间没有公共点，如图所示，在等边三

6、角形内制作一个小的等边三角形，使其三条边与原等边三角形的三条边之间的距离为1，那么等边三角形的边长为4-2=2，这可以从几何概率公式中得到：P(A)=。几何概率的特征是基本事件的数量是无限的，但可以用数形结合的方法巧妙地解决，即构造随机事件对应的几何图形，用图形的几何度量来计算随机事件的概率。再练习一个问题2.如图331所示，等腰直角三角形的右侧长度为2，以三个顶点为中心，以1为半径在三角形中形成一个弧，三个弧和斜边围成一个区域m(图中的白色部分)。如果点p是从三角形中随机选取的，那么点p落在区域m内的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ _。图331【分析】从问题的含义来看，图中阴影部分的面

7、积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分的面积为2，所以面积为2。因此，概率为=1-。答案 1-与体积相关的几何概率一只蜜蜂在边长为3的立方体中自由飞翔。如果蜜蜂在飞行过程中与立方体的六边之间的距离总是大于1，则称之为“安全飞行”，并寻找蜜蜂“安全飞行”的概率。【妙点】用体积比来计算概率。【试解】根据问题的意思，取边长为3的立方体中的任意一点，该点到每个面的距离大于1。满足问题含义的点区域是：位于立方体中心的边长为1的小立方体。根据几何概率的概率公式，满足问题含义的概率可以得到如下：P=。与体积有关的几何概率问题的解：(1)如果由所有试验结果形成的面积可以用体积来测量，其概率的计算公式为：P(A

8、)=。(2)要解决这类问题，必须注意几何概率的条件，特别注意概率是与体积还是长度有关，不要混淆两者。再练习一个问题3.在这种情况下，条件不变，从蜜蜂飞向立方体顶点的距离小于的概率。【解答】一个点到点A的距离小于的点在一个有中心和半径的球内，并且该点必须在一个已知的立方体内。满足问题含义的点a的面积体积是3。所以p=。调查研究类型几何概率与经典概率的异同探索1经典概率和几何概率有什么相似和不同之处？【提示】相似性：经典概率和几何概率中每个基本事件的概率是相等的。差异：经典概率要求随机试验中基本事件的总数必须是有限的；几何概率要求随机测试中基本事件的数量是无限的，用几何概率解决的问题一般都与几何知

9、识有关。2 p (a)=0a是不可能的事件，p (a)=1a是不可避免的事件，这是真的吗？提示 (1)无论是经典概率还是几何概率，如果A是一个不可能的事件，那么P (a)=0绝对是真的；如果A是不可避免的事件，那么P (A)=1肯定是真的。(2)在经典概率中，如果事件a的概率p (a)是0，那么a是不可能的事件；如果事件A的概率p(A)=1，那么A就是一个不可避免的事件。(3)在几何概率中，如果事件A的概率p(A)=0，那么A不一定是不可能的。例如，如果事件A对应于数轴上的一个点，则其长度为0，并且该点出现的概率为0，但是事件A不是不可能的；同样，如果公共关系妙指 (1)取区间-2，2中的两个

10、整数X和Y，有序数对(X，Y)是有限的，应该用经典概率求解；(2)取区间-2，2中的两个实数X，Y，有序数对(X，Y)是无限的，可以用几何概率求解。试解 (1)在区间-2，2中，选择两个整数x和y形成有序数对(x，y)，其中13个在满足x2 y2 4的圆上或圆中(如图所示)，p=0。(2)在区间-2，2中，取两个实数x和y组成有序数对(x，y)，整个区域是边长为4的正方形区域，其中X2 Y2 4是图中的阴影区域(如图所示)，S Yin= 22=4， P=。经典概率与几何概率的区别在于经典概率的基本事件总数是有限的，而几何概率的基本事件总数是无限的，所以我们在解题时要仔细考查问题，注意区分。再练

11、习一个问题4.在下列概率模型中，几何概率的数量是()(1)从区间-10，10中取一个数，计算概率为1；(2)从区间-10，10中取任意数，计算绝对值不大于1的数的概率；取区间-10，10中的一个整数，得到大于1但小于2的数的概率；将一个点扔进边长为4厘米的正方形中，计算该点距离中心不超过1厘米的概率。A.1B.2C.3D.4【分析】中的概率模型不是几何概率类型。虽然区间-10，10中有无数的数字，但得到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；(2)在(2)中的概率模型是几何概率，因为在区间-10，10和区间-1，1中有无数个数，并且在这两个区间中每个数被获得的概率是相等的；中的概率模型不是几何概

12、率，因为区间-10，10中只有21个整数，这是有限的；(4)在(4)中的概率模型是几何概率，因为在边长为4厘米的正方形和半径为1厘米的圆形中有无数的点，并且在这两个区域中任何点被投射的概率是相同的。回答乙1.旋转图中的每个转盘，指针指向红色区域的概率最高()分辨率d中红色区域的面积是圆的一半，其面积大于a、b和c中的面积，因此指针指向的概率最高。答案 D2.一只蚂蚁在地砖上爬上爬下(除了颜色都一样)，如图332所示。它最终停留在黑色地砖(阴影部分)上的概率为()图332A.B.C.D.解决方案从标题图中，我们可以看到地砖总数为12块，其中有4块黑色地砖。因此，停留在黑色地砖上的概率为=。回答答3.如果在半径为1的圆中随机投出一个点，该点落在圆的内切圆中的概率为()A.B.C.D.【分析】一个点落在圆的任何位置都是可能的，而落在圆内接的正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概率特征。如果圆内接正方形的对角线长度等于2，那么正方形的边长就是。圆形面积为，正方形面积为2，p=0。回答乙4.如果函数f (x)=-x2 2x，x-1，3，取任意点x0-1，3，那么f(x0)0的概率为_ _ _ _ _。【分析】根据问题的含义，解是0x02，所以取任意点x0-1，3使f(x0)0 p=的概率。回答5.在1