2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程疑难规律方法教学案新人教B版选修1

1、第二单元圆锥曲线和方程1椭圆定义解题中的妙计椭圆的定义反映了椭圆的本质特征，阐明了曲线中存在的几何性质。有些问题是，如果正确运用定义来解决，可以取得更多的成果，下面用几个例子来说明1 .求最大值例1线段|AB|=4，|PA| |PB|=6，m是AB的中点，p点在同一平面内运动时，PM长度的最小值为()A.2 B. C. D.5因为分析是|PA| |PB|=64=|AB|，所以由椭圆定义的p点的轨迹是以m为原点、以a、b为焦点的椭圆，a=3、c=2、b=.答案c2 .求出动点坐标例2椭圆=1上到2个焦点F1，F2的距离乘积最大的点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ .分析以椭圆上的动点为

2、p，由椭圆的定义可知|PF1| |PF2|=2a=10，|PF1|PF2|2=2=25，且仅在|PF1|=|PF2|的情况下取等号。从解中|PF1|=|PF2|=5=a，此时的点p正好是椭圆短轴的两端点即，求出的点的坐标是(3，0 )。回答(三，零)根据椭圆的定义，评价可以将“|PF1| |PF2|=10”，即2个正数|PF1|，|PF2|之和作为一定值，与平均不等式一起求出|PF1|，|PF2|积的最大值3 .求出焦点三角形面积如例3图所示，已知椭圆方程式为=1，点p位于第二象限，如果PF1F2=120，则求出PF1F2的面积.从已知解开始，a=2，b=、c=1，|F1F2|=2c=2。在P

3、F1F2中，从侑弦定理得到pf2|2=|pf1|2| f1f2|2| pf1|f1f2| cos 120，即|PF2|2=|PF1|2 4 2|PF1|、从椭圆定义|PF1| |PF2|=4，即|PF2|=4-|PF1|.将代入，|PF1|=。SPF1F2=|PF1|F1F2|sin 120=2=，即PF1F2的面积为。评价在PF1F2中，根据椭圆的定义和侑弦定理，对于|PF1|，|PF2|的方程组，可以消去|PF2|，可以求出|PF1|。根据以上的问题，有关椭圆上的点和椭圆焦点的问题，首先必须考虑利用椭圆的定义来解决2求椭圆离心率的方法1 .根据椭圆的定义求离心率例1以椭圆的焦距长度为直径超

4、过2个焦点的圆，正交椭圆在4个不同点，依次连接4个这些个点和2个焦点构成正好1个正六边形时，该椭圆的离心率为如解析图所示，设椭圆的方程式为=1 (ab0 )，半焦距长度为c，根据问题意味着F1AF2=90，AF2F1=60。|AF2|=c，|AF1|=2csin 60=c。|AF1| |AF2|二十进制。e=-1。答案-1本问题利用圆和正六边形的几何性质，结合椭圆的定义，化难，解决问题简单2 .解方程(群)求离心率例2椭圆=1 (AB0)的左焦点是F1(-c，0 )、A(-a，0 )、B(0，b )是两个顶点，如果从F1到直线ab的距离为，则椭圆的离心率e如解析图所示，直线AB的方程式为=1即

5、，bx-ay ab=0。从点F1(-c，0 )到直线AB的距离为，|a-c|=，即，7a2-14ac 7c2=a2 b2。另外，得到了b2=a2-c2、整理、5a2-14ac 8c2=0。两边都用a2除以e=知道。 8e2-14e 5=0。解e=或e=(舍去)。答案3 .用数形结合求出离心率例3在平面垂直角坐标系中，椭圆=1(ab0 )的焦距长度为2，圆o的半径为a，通过点p做成圆o的两条切线，如果这些个的两条切线相互垂直，则离心率e=_。如解析图所示，切线PA、PB相互垂直，PA=PB。再有，OAPA、OBPB、OA=OB，四边形OAPB是正方形所以OP=OA，即，a，e=。答案4 .综合类

6、将例4m设为椭圆=1以上的点，将F1、F2设为椭圆的左、右焦点，按照MF1F2=75、MF2F1=15的方式，求出椭圆的离心率。从正弦定理得到解=，e=。如果MF1F2=，MF2F1=，这个问题就可以作为椭圆的离心率e=来推广。活用双曲线定义妙解问题在解决双曲线中的离心率、最大值等问题时，如果能够灵活运用双曲线的定义，就能够以大问题为小题，发挥提高工作效率的作用。1 .求出焦点三角形的周长例1如果超过双曲线-=1的左焦点F1的直线和左交叉于a、b两点，弦AB的长度为6，则ABF2(F2为右焦点)的周长为从双曲的定义解析|AF2|-|AF1|=8，|BF2|-|BF1|=8，两个公式合并|AF2

7、| |BF2|-(|AF1| |BF1| )=|AF2| |BF2|-|AB|=16，成为|AF2| |BF2|=16 6=22，ABF2的周长是例如，|AF2| |BF2| |AB|=22 6=28。回答28评估与焦点相关的三角形周长问题，用双曲线的定义解决，留心问题解决时的拼凑技术2 .最大值问题已知例2f是双曲-y2=1的右焦点，p是双曲右分支上的动点，求定点m (4，2 )、|PM| |PF|的最小值。双曲线的左焦点为ff (-2，0 )，从双曲线的定义可以看出：|pf|-| pf|=2a=2，| pf|=|pf|-2，在| pm| pf|=|pm| pf|-2中，必须使用| pm|

8、pf|才能使pm| pf |最小化。因此，|PM| |PF|的最小值为2-2。利用双曲线的定义变换f的位置，然后用共线容易求出最小值。 另外，如果将m坐标变更为m (1，1 )，则其他条件不变，请试着考虑如何解。如果p是双曲线左分支上的动点，则如何解？3 .求出离心率的范围例3知道双曲-=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点p在双曲的右分支上，|PF1|=4|PF2|，尝试求出双曲离心率的可取值的范围。解是|PF1|=4|PF2|，点p在双曲线的右分支上，当设定为|PF2|=m时，|PF1|=4m，根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=4m-m=2a，所以m=a。此外|PF1|

9、|PF2|F1F2|，即4m m2c，所以mc，即，由于ac，所以e=。另外，由于是e1，所以双曲线离心率可取值的范围为1b0)、A(x1，y1)、B(x2，y2)、AB的中点为N(x0，y0)，-得到=0，即=-=-，另外，kAB=1，y0=-x0。直线ON的方向矢量=、日本厚朴。a2=3b2，椭圆值行程为x2 3y2=3b2，另外，直线方程式是y=x-c。联合起来变成了4x2-6cx 3c2-3b2=0。x1x2=c2，x1x2=c2。另外，设M(x，y )为= ，必须代入椭圆方程式进行整理2(x 3y) 2(x 3y) 2(x1x2 3y1y2)=3b2。另外，x 3y=3b2、x 3y

10、=3b2，x1x2 3y1y2=4x1x2-3c(x1 x2) 3c2=c2-c2 3c2=0，因为2 2=1，所以2 2是一定值。例2已知抛物线y2=2px (p0)具有两个动点a、b和一个定点M(x0，y0)，f是抛物线的焦点，|AF|、|MF|、|BF|为等差数列。求证：线段AB的垂直平分线通过定点(x0 p，0 )。证明设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，用抛物线定义并知道例如，|AF|=x1，|BF|=x2，|MF|=x0。|AF|、|MF|、|BF|为等差数列，2|MF|=|AF| |BF|，即x0=。设AB的中点为(x0，t )，t=。kAB=。线段AB的垂直平分线的方程是y

11、-t=-(x-x0)，即，tx-(x0 p) py=0。因此线段AB的垂直平分线通过定点(x0 p，0 )。2 .最大值问题解决圆锥曲线最大值问题一般有两种方法。 一种是几何法，特别是在关于圆锥曲线的定义和平面几何的结论中求解非常巧妙。 二是代数方法，将圆锥曲线中的最大值问题变换为函数问题(即列举按条件求的目标函数)，根据函数特征选择残奥元法、分配方法、判别式法、三角有界法、函数单色法及基本不等式法等，求最大或最小值。例如，已知3f是双曲线-=1的左焦点，a (1，4 )，p是双曲线右分支上的动点，|PF| |PA|的最小值是_。分析设右焦点为f，从题意来看设f坐标为(4，0 )，从双曲线的定

12、义来看设为| pf|-|pf|=4，pf| |pa|=4答案9评价“使化曲直溜溜”法求出有关距离的最大值是平面几何中巧妙的方法，特别是有关圆锥曲线上的动点、定点和焦距长度之和的最大值问题经常使用该方法可知例4平面内的从一点p到点f (1，0 )的距离与从点p到y轴的距离之差等于1。(1)求动点p轨迹c的方程式(2)设过点f以2个倾斜度存在，相互正交的直线l1、l2，求出l1和轨迹c在点a、b、l2和轨迹c在点d、e相交的最小值。设解(1)动点p的坐标为(x，y )，出于题意，从-|x|=1.化简并性为y2=2x 2|x|。x0时，y2=4x；在x0的情况下，y=0由此，动点p的轨迹c的方程为y

13、2=4x (x0 )和y=0 (x0)。(2)从题意可知，直线l1的倾斜存在，并且不是0，设为k，则l1的方程式为y=k(x-1 )。由得到k2x2-(2k2 4)x k2=0。假设A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1、x2是上述方程的两个实根，x1 x2=2，x1x2=1。由于l1l2，所以l2的倾斜为-。设定为D(x3，y3)、E(x4，y4)，同样得到x3 x4=2 4k2、x3x4=1。因此=() ()=| |。=(x1 1)(x2 1) (x3 1)(x4 1 )=x1x2 (x1 x2) 1 x3x4 (x3 x4) 1=1 1 1 (2 4k2) 1=8 48 42=16。且

14、仅在k2=即k=1时，取得最小值16。5圆锥曲线存在的搜索型问题的求解方法存在探索型问题作为探索性问题之一，具有内容广泛、重点问题型丰富等命题要求，易于考察分析、比较、推测、归纳等综合能力，深受命题人的喜爱1 .常数有问题例1直线y=ax 1和双曲线3x2-y2=1在a、b两点相交，这样的实数a是否存在，a、b关于直线y=2x对称。 请说明理由分析首先假定实数a存在，然后通过推论和修正算得出满足题意的结果，得到与假说不符点的结果，否定假说，得出不存在某个数学对象的结论实数a、b以关于直线l:y=2x对称的方式解设并排设置A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标是。按问题分类=2即y1 y2=2(x1 x2)、另外，a、b在直线y=ax 1上，y1=ax1 1，y2=ax2 1，y1 y2=a(x1 x2) 2、从中得到2(x1 x2)=a(x1 x2) 2，即，(2-a)(x1 x2)=2，联合(3-a2)x2-2ax-2=0，x1 x2=，代入时，(2-a)=2，得到解的a=被验证符合问题的意思kAB=、kl=2，kABkl=2=3-1。不存在满足题意的实数a。2 .点存在型问题已知在例2平面正交坐标系中，中心位于第2象限，半径2的圆和直线y=x与原点o相接，椭圆=1和从圆c的一方的升交点到椭圆的两焦点的距离之和为10 .(1