2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念学案 新人教B版选修2-2

1、31.1实数系31.2复数的概念明目标、知重点1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件1复数的有关概念(1)复数定义：设a，b都是实数，形如abi的数叫做复数，i叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)(2)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：3复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且

2、bd.情境导学为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题探究点一复数的概念思考1为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数思考2如何理解虚数单位i?答(1)i21.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运

3、算律(3)由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立(4)若i21，那么i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.思考3什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答形如abi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即zabi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部对于复数zabi(a，bR)，当b0时叫做虚数；当a0且b0时，叫做纯虚数例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数23i；3i；i；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；的实部为，虚部为1

4、，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数 反思与感悟复数abi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由(1)实部为的虚数；(2)虚部为的虚数；(3)虚部为的纯虚数；(4)实部为的纯虚数解(1)存在且有无数个，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2求当实数m为何值时，z(m25m6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解由

5、已知得复数z的实部为，虚部为m25m6.(1)复数z是实数的充要条件是m2.当m2时，复数z是实数(2)复数z是虚数的充要条件是m3且m2.当m3且m2时，复数z是虚数(3)复数z是纯虚数的充要条件是m3.当m3时，复数z是纯虚数反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数跟踪训练2实数m为何值时，复数z(m22m3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，且m

6、22m30，解得m0或m2.探究点二两个复数相等思考1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小思考2两个复数相等的充要条件是什么？答复数abi与cdi相等的充要条件是ac且bd(a，b，c，dR)例3已知x，y均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求x与y.解由复数相等的充要条件得解得反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练3已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值解MPP，MP，(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i

7、4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.1已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.，1 B.，5C，5 D，1答案C解析令，得a，b5.2下列复数中，满足方程x220的是()A1 BiCi D2i答案C3如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0C1 D1或1答案B解析由题意知，m0.4下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中正确命题