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1、线性系统理论,2008-2009学年 黄景涛 Email: Mobile: 136-1379-6210 Lab: 10-825,第三章 线性系统的运动分析,主要内容,线性系统的零输入响应 线性系统的零状态响应 连续时间线性时不变系统的运动分析 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵 连续时间时变系统的运动分析 离散时间线性系统的运动分析,基本规律 行为性质 分析方法,3.1 引言,运动分析的数学实质 求解系统状态方程，以解析形式或数值分析形式建立系统状态随输入和初始状态的演化规律，状态演化形态对系统结构和参数的依赖关系 对连续时间线性系统，运动分析即求解微分

2、状态方程 对离散时间线性系统，运动分析即求解差分型状态方程 系统的运动形态主要由系统结构和参数决定 对线性系统，可得到状态的解析解，即能以显式形式给出运动过程对系统结构与参数的依赖关系,3.1 引言,解的存在性和唯一性条件,设系统状态方程,若系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间t0,t上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，则状态方程的解x(t)存在且唯一。实际物理系统一般均满足此条件。,从数学观点，上述条件过于苛刻，可减弱为：,系统矩阵A(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为绝对可积，即：,输入矩阵B(t)的各个元bik(t)在时间区间t0,t上

3、为平方可积，即：,输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间t0,t上为平方可积，即：,条件可一步合并为要求B(t)u(t)的各元在时间区间t0,t上绝对可积。,3.1 引言,零输入和零状态响应 线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分运动： 初始状态自由运动 输入作用强迫运动,3.1 引言,定义3.1 零输入响应 线性系统的零输入响应定义为只有初始状态作用而无输入作用时系统的状态响应 数学上，零输入响应就是无输入自治状态方程的状态解 物理上，零输入响应代表系统状态的自由运动，其特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受系统外部输入变量的影响 定义3.2 零初态响应

4、 线性系统的零初态响应定义为只有输入作用而无初始状态作用时系统的状态响应 数学上，零初态响应为零初始状态强迫状态方程的状态解 物理上，零初态响应代表系统状态由输入所激励的强迫运动，其特点是响应稳态时具有和输入相同的函数形态,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,系统的零输入响应,令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程,结论3.1 系统自治状态方程的解，具有以下形式,其中,若初始时间取为t00则,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,零输入响应的几何表征 零输入响应随时间的演化过程，几何上即为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨线 零输入响应的运动属性 对线性时不变

5、系统，由零输入响应为自治状态方程解所决定，状态空间中零输入响应随时间的演化轨迹，属于偏离系统平衡状态的初始状态引起的自由运动 零输入响应的形态 零输入响应的形态，即自由运动轨迹的形态，由且仅由系统矩阵指数函数唯一决定 系统矩阵包含了零输入响应的全部信息 零输入响应趋向平衡态的属性 由零输入响应的状态表达式可知，零输入响应(自由运动轨迹)最终趋向于系统平衡态，当且仅当矩阵指数函数最终趋于0 矩阵指数函数趋于零是线性时不变系统为渐近稳定的充要条件,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,矩阵指数的性质,(4) 设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA，则有,3.2 连续时间线性时不变系统的运动

6、分析,矩阵指数函数的算法,1：定义法,2：特征值法,1）若,则,2）若,则,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,3）若,其中,则,其中,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,例,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,例,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,3. 有限项展开法,设1、2、n为A的n个互异特征值,而,从中可求出,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,4. 预解矩阵法,若i为l重特征值，则相应的l个方程为,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,例,令,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,系统的零初态响应 给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程 其中

7、，x 为n 维状态向量， u为p维输入向量， A 和B 分别为n*n和n*p常阵 结论3.7 零初态响应 连续时间线性时不变系统的零初态响应的表达式为：,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,例3.2 给定一个连续时间线性时不变系统： 其中，初始状态 ，输入为单位阶跃函数,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,零初态响应的特征和属性 数学特征: 积分式中矩阵指数函数的影响和输入作用函数影响在时序上对偶; 即“卷积”. 具有对称性，即 几何特征: 零初态可表示为 几何上代表状态空间中由各个时刻输入作用等价状态的变换点构成的一条轨迹 运动属性: 输入驱动下的强迫运动; 在稳态过程中状态同输

8、入函数结构,而在过渡过程中则同时依赖于系统特性和输入函数. 对任意状态的可达性: 零状态响应相对于任意初始时刻的表达式:,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,系统状态运动规律的基本表达式,对同时作用有初始状态和输入的连续时间线性时不变系统：,基于叠加原理，状态运动规律可表达如下：,对初始时刻t0=0情形有表达式,结论3.8 状态运动规律 连续时间线性时不变系统的状态运动规律，即同时作用有初始状态和输入的状态方程的解，对初始时刻t0具有表达式：,初始状态转移项,输入作用下的受控项,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,基于特征结构的状态响应表达式,设系统的状态空间描述为,A的属于12n

9、线性无关右特征向量组,A的属于12n线性无关左特征向量组,12n为A的n个两两相异的特征值,右特征向量矩阵,左特征向量矩阵,显然,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式：,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0 x(t)以及状态运动规律x(t)的表达式为：,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,特征值对响应的影响主导性 状态运动方程的结构由特征值决定 实数特征值指数函数形式 共轭复数特征值指数正余弦函数 特征值实部为负系统衰减至

10、稳定状态 特征值正实部系统不能稳定 特征向量对状态响应的影响非主导性 相对于特征值，特征向量对状态的影响为“量”的影响 特征结构在系统分析和综合中的基础性 系统基本特性与特征结构有直接关系 特征值、特征向量对系统分析和综合具有重要作用 稳定性、能控性、能观测性等与特征值有直接关系 特征值也是综合问题的一类重要指标形式,3.3 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,设连续时间线性时不变系统，状态方程为：,基本解阵,矩阵方程,的解阵,称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。,其中H为任意非奇异实常阵,结论：(1). 基本解阵不唯一 (2). 由系统自治方程,的任意n个线性无关解为列可构成一个基

11、本解阵。,(3).连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为,系统的运动本质相应状态的转移 状态转移矩阵直观反映状态的转移,状态转移矩阵和基本解阵,3.3 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,状态转移矩阵,矩阵方程,的解阵(t-t0),称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。,结论：,1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出,2:状态转移矩阵 (t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关。,3:状态转移矩阵的形式为,3.3 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,基于状态转移矩阵的系统响应表达式,状态转移矩阵的特性,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵

12、,脉冲响应矩阵从时间域角度表述系统输入输出关系 传递函数矩阵从频率域表述系统输入输出关系 脉冲响应矩阵 定义 单位脉冲 时间变量t,作用时刻为 的单位脉冲定义为满足如下关系的广义函数： 定义 脉冲响应 对SISO连续时间线性时不变系统，脉冲响应定义为零初始状态下以单位脉冲为输入的系统输出响应。 定义 输出响应 对SISO连续时间线性时不变系统，假设系统初始状态为零，则系统在任意输入u作用下基于脉冲响应的输出响应为：,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,定义【脉冲响应矩阵】：表hi j(t-)为第j个输入端在时刻加以单位脉冲(t-)而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维

13、输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-)为元构成的一个输出响应矩阵,结论：对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,脉冲响应矩阵和状态空间描述,结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为,结论：两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵 结论：两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响

14、应矩阵,脉冲响应矩阵和传递函数矩阵 结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系： 脉冲响应矩阵等同条件：给定两个连续时间线性时不变系统(A,B,C,D)和 ，二者具有相同的输入维数和输出维数，但状态维数可以不同，则两个系统具有相同的脉冲响应矩阵即相同的传递函数矩阵，当且仅当二者参数矩阵满足如下关系：,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,例,求该系统的脉冲响应矩阵,解,也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得,3.5 连续时间线性时变系统的运动分析,状态转移矩阵,设连续时间线性时变系统，状态方程为,对连续时间线性时变系统，矩阵方程：,的解矩阵(

15、t,t0)称为状态转移矩阵。,矩阵方程,基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。,的解矩阵(t)称为,3.5 连续时间线性时变系统的运动分析,结论：基本解阵不唯一：H为任意非奇异阵 基本解阵的构成：对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程,的任意n个线性无关解为列构成,基本解阵的形式：对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵,结论： 状态转移矩阵为唯一,状态转移矩阵：基于基本解阵的状态转移矩阵为,3.5 连续时间线性时变系统的运动分析,状态转移矩阵的性质,系统的状态响应,结论：对连续时间线性时变系统，状态运动即状态方程的解基于状态转移矩阵的表达式为,状态运动计算上的困难性：状态

16、转移矩阵难以得到解析表达式，主要用于理论分析。实际可采用数值方法进行计算。 线性系统状态运动表达式在形式上的统一性：,3.4 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,线性时变系统的输出为：,假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：,则输出为,脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为：,3.5 连续时间线性时变系统的运动分析,A(t)为周期性的线性时变系统状态运动分析 基本解阵的属性 对A(t)为周期性矩阵线性时变系统，即A(t+T)=A(t)。若 为自治状态方程的一个基本解

17、阵，则 必是它的一个基本解阵。 若 均为系统自治状态方程的基本解阵，则必存在一个常值矩阵 使得成立: 周期性矩阵A(t)在Lyapunov变换下的属性 Lyapunov变换：对A(t)为周期性矩阵的线性时变系统，引入n维变换矩阵P(t)， 在区间 上连续有界，存在 使得： 取变换 ，称变换后系统 为 的Lyapunov变换。,3.5 连续时间线性时变系统的运动分析,对A(t)为周期性矩阵的线性时变系统，必存在一个n维常值矩阵 以构成变换矩阵 使系统在Lyapunov变换 下的状态空间描述为： 变换后系统矩阵为常阵。 线性周期性时变系统的稳定性必同于对应的线性时不变系统。,3.6 连续时间线性系

18、统的时间离散化,基本约定,1）对采样方式的约定 采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度比采样周期T小得多。 2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件 3）对保持方式的约定零阶保持方式,基本结论,给定连续时间线性时变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,其中,3.6 连续时间线性系统的时间离散化,结论,给定连续时间线性时不变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,其中,结论,时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性 离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。,3.6 连续时间线性系统的时间离散化,例,线性定常系统的状态方程为,设采样周期T=1秒，试求