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1、第七节 斯托克斯公式与旋度,本节要点,一、斯托克斯公式,二、旋度,一、斯托克斯公式,斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分下的的推,广, 它也是格林公式在空间曲线积分下的推广. 该公式,将定向曲面上的积分与曲面的定向边界上的积分有机地,联系起来.,1.定向曲面的正向边界,设 是具有边界曲线的定向曲面, 规定其边界曲线,指向与曲面的法向相同. 如此规定的边界曲线 称为,的正向: 该正向与曲面的法向量符合右手法则. 即,当右手除拇指外的四指指向 的方向时, 竖起的拇指的,定向曲面 的正向边界曲线, 记作,例 取上侧则, 是,平面上逆时针走向的单位圆周,2.斯托克斯公式,定理1 设 是一张光滑或分片

2、光滑的定向曲面, 的正,在 上有一阶连续偏导数,向边界 为光滑或分段光滑的闭曲线, 如果函数,则,为了便于记忆, 引用三阶行列式, 式可写成,公式或 称为斯托克斯公式.,由两类曲面积分的联系, 上式又可写成,其中 为曲面在点 处的方,向余弦.,证 先设 具有显式方程,不妨设 取上侧, 这时 的正向边界曲线 在 上,转化为 面上的第二类曲线,的投影曲线是平面区域 的正向边界,曲线 （见右图）.,式右端中的积分,从而可以将,积分, 即,再由格林公式, 得,再由第二类曲面积分的计算公式, 有,比较以上两式知,若 取下侧, 则等式两边同时变号, 故上式依旧成立.,类似地, 当 具有显式方程 时, 有,

3、类似地, 当 具有显式方程 时, 有,如此, 当 同时具有这三种显式方程（称这种曲面为简,单曲面）时, 上述三式同时成立, 两边分别相加即得到,式.,对于较为一般的定向曲面 , 通常可以用几条辅助曲,在上式中, 左边的积分和即为式的左边, 而右边的,线将 分成有限个简单定向曲面块 然后在每,个曲面块 上有相应的式成立, 从而,和, 因辅助曲线一个来回的曲线积分互相抵消, 故余下,的积分相加即得到式的右边, 于是式仍然成立, 故,在所有条件下式都是成立的.,例1 求积分,其中 为柱面 与平面 的交,线. 从 的正向看, 取逆时针方向.,由公式 得,解 取曲面 为平面被柱面割下的有限部分, 平面的

4、方,向取上侧, 因而法向为,从而单位法向为,代入曲面方程,例2 求,与平面 的交线，,从 轴的正向看, 取顺时针方向.,解 两曲面的交线为,其中 为球面,因而两曲面交线在 平面上的投影为,此曲线在平面上的投影为椭圆, 面积为 平面的法,由曲线积分公式,向为 从而相应的单位向量为,例3 求,其中 是曲线,解 取曲面为抛物面被柱面截下部分, 取下侧, 由积分公,从 轴正向看, 取顺时针方向.,式得,利用合一投影法.,二、旋 度,对于 向量场,我们称向量,为 在点 处的旋度, 记为 即,利用旋度概念, 斯托克斯可以写成,设 是场内的一条定向闭曲线, 沿定向闭曲线 的积,称为向量场沿 的环流量, 按第

5、二类曲线积分的定义,其中 是定向曲线 的单位切向量. 所以环流量,是向量 在定向曲线 上的切向量上的投影沿曲线 的,分,积分（见下图）.,定理2 设 是空间的一个单连通区域,为 上的 类函数，则 沿 内定向曲线的积,分与路径无关的充分且必要条件是,例4 求向量场,解 由公式, 得,的旋度.,例5 设数量场,证 由定义得,所以,证明,由于函数 有连续的二阶偏导, 故混合偏导相等, 从而有,旋度的物理意义,这就是在旋转过程中各点处的速度分布, 即速度场.,处的质点的线速度为,考察一质点系统绕 轴作匀速旋转的情况, 设旋转的,角速度为,那么在点 处的旋度为,则在点,可见, 在物体作旋转运动时,速度场

6、的旋度与转速有关.,对某一速度场 在场内取一点,一单位向量,在 上任取一条包围点 的光滑闭曲线,记 为定向平,的侧向符合右手法则.,面 上被 所围的部分, 其边界 的定向与定向平面,设 是 的面积, 则,是流速场 沿 的环流量对面积的变化率,称之为 在 上沿方向 的平均环量密度.,同时取定,过该点作一张以 为法向量的定向平面,称之为 在 点沿方向 的环量密度.,由斯托克斯公式以及积分中值定理,令 向点 收缩, 由上式得,特别, 当方向 与旋度方向 相同时, 则极限值就是,在 点沿旋度方向的环量密度.,最大环量密度的方向, 在该方向上, 最大环量密度为,并且 是向量场 取得,则 是反映微团旋转的

7、快慢和确定旋转,在研究流体运动时, 可将流体细分为流体微团. 如果,是速度场,旋转的方向量.,按一定速度平移；,绕瞬时轴转动；,流体微团的变形.,实际问题中, 流体与绕流物体之间的摩擦、流体微团,之间的摩擦、不同流层的流速不一致等因素, 在流动过,程中流体微团在会作以下三种方式的运动：,例如， 水面漩涡产生或消失、水下看不见的暗流等现,象, 它们都与流体的速度场有关.,例6 求,其中,解,即,作直线,最后我们指出, 本章的几个主要公式都是微积分基本,公式在二维和三维空间的推广. 为了便于大家记忆和发,现这些公式之间的内在联系, 我们把这些公式集中在一,起列出. 但这里不再叙述公式成立的条件.,微积分基本公式:,曲线积分基本公式,格林公式,斯托克斯公式,高斯公式,三、向量微分算子,下面介绍一个在场论分析中经常出现的符号 （称为,算子 可像通常的向量一样，与数量值函数可作“数,算子）. 其定义为,乘”, 或与向量值函数作“向量积”, 从而得到新的函数.,其规定如下:,算子与数量值函数 作数乘:,算子与向量值函数 作数量积:,如果算子 与向量值函数