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1、14 相关,相关和卷积很相似，它与傅立叶变换有密切联系，在图像识别中有重要应用。,1.互相关,两个复函数f(x,y),g(x,y)的互相关定义为：,复函数f(x,y),g(x,y)的互相关也可以写成：,两个复函数f(x,y)与g(x,y)的二维卷积：,两个复函数f(x,y),g(x,y)的互相关：,卷积和互相关的区别：相关计算函数f（x，y）需要取共轭，但图形不需要反转。,卷积和互相关的相似点：都需要平移、相乘、积分。,虽然它们的运算结果不同，但它们之间存在一定联系。,互相关的意义：,互相关是两幅图像之间相似性或关联性的度量。,卷积和互相关的联系：,证明：,虽然互相关运算不满足交换率，即：,但

2、是却有：,证明：,2.自相关,当f(x,y)g(x,y)时，互相关称为函数的自相关：,自相关是两幅相同图像之间的重叠程度的度量。,自相关函数具有厄密对称性：,当f(x,y)是实函数时，其自相关函数是偶函数：,自相关是两幅相同图像之间的重叠程度的度量。,那么，当x=0,y=0，即两幅图像完全重合时，自相关函数的模应取最大值。,15 傅立叶变换的基本概念,傅立叶分析是广泛应用于物理学和各工程学科的重要数学工具。,1.二维傅立叶变换的定义,复函数f(x,y)的傅立叶变换定义为：,式中，符号F ，表示傅立叶变换运算，其运算结果为F(fx,fy)，叫做f(x,y)的频谱，fx,fy分别是沿x方向和沿y方

3、向的空间频率。,反过来，函数f(x,y)也可以用其频谱F(fx,fy)来表示：,函数f(x,y)和其频谱F(fx,fy)函数构成傅立叶变换对，记作：,频谱F(fx,fy)函数一般是复函数，常常写成：,称为振幅谱。,称为相位谱。,称为功率谱。,2.傅立叶变换的存在条件,在讨论傅立叶变换和逆变换的性质之前，我们应先确定那两个积分在通常数学意义上是否存在，也就是傅立叶变换的存在条件。,严格讨论傅立叶变换的存在条件是一个数学问题，我们没有必要也没有可能去讨论它。这里直接给出：,1）函数f(x,y)全(x,y)平面绝对可积。,2）函数f(x,y)在有限的区域内f只有有限各间断点和有限各极大和极小点。,3

4、）函数f(x,y)没有无穷大间断点。,我们刚刚讲过的常用函数往往不满足这些要求。,3.广义傅立叶变换,假设存在一个函数序列gN(x,y)，其中每一个函数都存在傅立叶变换，对应的频谱为GN(fx,fy)。,函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是：,并且：,这时，我们称G(fx,fy)为函数g(x,y)的广义傅立叶变换。,广义傅立叶变换的计算规则和普通傅立叶变换相同，我们不在考虑二者之间的差别。,4.虚、实、奇、偶函数傅立叶变换的性质,复函数f(x,y)的傅立叶变换可写为：,假设f(x,y)可写成：,代入上式，得：,下面我们针对f(x,y)的几种情况讨论一下，简化上面的结果。,1）函数f(x,

5、y)是实函数，即：,显然有：,这时F(fx,fy)是厄密型函数。,2）函数f(x,y)是实偶函数。,显然有：,这时F(fx,fy)是也是实偶函数。,这时F(fx,fy)称为函数f(x,y)的余弦变换，并有,3）函数f(x,y)是实奇函数。,显然有：,这时F(fx,fy)是是虚奇函数。,这时F(fx,fy)称为函数f(x,y)的正弦变换，并有,傅立叶变换不改变函数奇偶性。,5.傅立叶变换作为分解式,对于线性系统，处理问题的常用方法是：“把一个复杂的输入信号（图像）分解成许多简单的基元相加的形式，然后计算系统对每一个基元的响应，再把这些响应叠加起来就得到了原信号的的响应。,傅立叶分析正是这种分解函数的工具。,基元函数的物理意义,1）“子波”的传播方向,（x,y）平面上传播的简谐光波的复振幅可表示为：,式中、分别是光波传播方向与x轴、y轴的夹角。,通过比较不难发现：,进而：,(fx,fy)表示了光波传播方向。,2）“子波”的等相位线,通过比较不难发现，方程：,表示子光波的等相位线。,表示子光波和坐标原点等相位的直线族。,3）空间频率与空间周期,空间频率是指波形在单位距离内重复的次数。,空间周期是空间频率的倒数。它是指波形重复一次所经过的最小空间距离。,空间周期：,空间频率：,1/fx,1/fy表示x、y轴方向的空间周期。,fx,fy表示x、y轴方向的空间