2011届高三数学总复习 定积分精品课件 文 新人教版

1、第十一节定积分,1.定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念 如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1 xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小 在 f(x)dx中， 分别叫做积分下限与积分上限,区间a，b叫做积分区间, 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式,a与b,函数f(x),x,f(x)dx,(2)定积分的几何意义 当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分 f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分),一般情况下,定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a、x

2、=b之间的曲边梯形面积的代数和(右图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,2.微积分基本定理 如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么 f(x)dx ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式,F(b)F(a),3.几种典型的平面图形面积的计算 求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成平面图形的面积S.,(3)如图所示，由两条直线xa，xb(ab), 两条曲线yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积S f(x)g(x)dx.,(4)如图所示，当axc时，f(x)

3、0，当cxb时，f(x)0，S f(x)dx f(x)dx.,曲边梯形的面积和定积分的值相等吗？ 提示：不一定相等，当曲边梯形有部分在x轴下方时就不相等，这时要分段计算,4.定积分在物理中的应用 (1)变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即s v(t)dt. (2)变力作功公式 一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)(单位：m)，则力F(x)所作的功为W F(x)dx.,1. sinxdx等于() A.0B2 C. D2 【答案】D,【解

4、析】 cos(cos0)112.,【解析】,【答案】A,3.(2008年广东中山)下图中，阴影部分的面积是(),A16 B18 C.20 D22 【答案】B,【解析】 选B,4.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm，此时用的力是200 N，变力F作的功W为_J 【解析】设Ff(x)kx， F200 N时，x10 cm0.1 m，k2 000. 则变力Ff(x)2 000 x，W00.12 000 xdx10(J) 【答案】10,5.图中阴影部分的面积S_,【解析】由5-x2=1得x=2. 点A的坐标为(2,1),【答案】,定积分的计算(利用微积分基本定理),求下列函数的定积分： 【思路点拨】 (

5、1)(2)先利用定积分的性质将被积函数化简再求 (3)先化简，再求定积分,【自主探究】,【方法点评】 1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形 2.计算简单定积分的步骤 (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到F(x)使得F(x)f(x)； (4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值,【解析】,【思路点拨】(1)f(x)在0

6、,5上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成0,1，(1,4，(4,5三段的定积分的和；,定积分性质应用,【自主探究】(1)由定积分性质知,【方法点评】1.分段函数的定积分 (1)分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式 (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细 2.奇偶函数在对称区间上的积分,(1)若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续， 则 (2)若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续，则,【解析】,定积分在物理上的应用,列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，

7、问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ 【思路点拨】作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可,【自主探究】已知列车速度v072 km/h20 m/s， 列车制动时获得的加速度为a0.4 m/s2， 设列车开始制动到经过t s后的速度为v，则vv0 adx20 0.4dx200.4t，令v0，得t50 s 设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s， 则s050vdt050(200.4t)dt500(m)， 所以列车应在进站前50 s

8、，以及离车站500 m处开始制动,【方法点评】 1.物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数aa(t)在时间区间m，n上的定积分 a(t)dtv(m) 2.求变力作功的方法 (1)求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x)的表达式，这是求功的关键 (2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从xa移到xb(ab)因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置 (3)根据变力作功公式W F(x)dx即可求出变力F(x)所作的功,3.一物体按规律xbt3作直线运动,x为时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,试求物体由x0运动到x

9、a时,阻力作的功.,【解析】物体的速度vx(t)(bt3)3bt2，媒质的阻力f阻kv2k(3bt2)29kb2t4(k为比例系数，k0)，,【答案】 该物体由x0运动到xa时，阻力作的功为,1.(2009年福建高考) 1cosx)dx等于() A.B2 C.2 D2,【答案】D,【解析】,2.(2009年广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(),A在t1时刻，甲车在乙车前面 B.t1时刻后，甲车在乙车后面 C.在t0时刻，两车的位置相同 D.t0时刻后，乙

10、车在甲车前面,【解析】判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图像与t轴以及时间段围成区域的面积从图像知：在t0时刻，v甲的图像与t轴和t=0，t=t0围成区域的面积大于v乙的图像与t轴和t=0，t=t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图像与t轴和t=0，t=t1围成区域的面积仍然大于v乙的图像与t轴和t=0，t=t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面所以选A. 【答案】A,【解析】根据定积分的概念，,【答案】D,【解析】,【答案】,1.利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx的步骤 (1)求f(x)的一个原函数F(x)； (2)计算F(b)F