《3.1.2两角和与差的正弦、余弦函数》 课件(北师大版必修4).ppt

1、新课标北师大版课件系列,高中数学 必修4,两角和与差的 正弦、余弦函数,在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角、的三角函数值， 如何求+、 或 2的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起.,在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),.,.,P1(x1, y1),P2(x2, y2),M1(x1, 0),M2(x2, 0),N1(0, y1),N2(0, y2),Q,P1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2，,由勾股定理，可得,P1P22=P1Q2+QP22,=(x1x2)2+(y1y2)2,=x1

2、x22+y1y22,由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式：,P1P2=,接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(+)用 、的三角函数来表示的问题.,如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角、和，,P1,P2,P3,P4,+,P1(1, 0),各点坐标：,P2(cos, sin),P3(cos(+), sin(+),P4(cos(), sin(),P1,P2,P3,P4,+,P1(1, 0),各点坐标：,P2(cos, sin),P3(cos(+), sin(+),P4(cos(), sin(),由P1P3P2P4

3、及两点间距离公式，得,cos(+)12+sin2(+),=cos()cos2,+sin()sin2,cos(+)12+sin2(+),=cos()cos2,+sin()sin2,cos2(+)2cos(+)+1+sin2(+),=cos22cos cos+ cos2,+ sin2+2sin sin+ sin2，,22cos(+),=22cos cos,+2sin sin，, cos(+)= cos cos sin sin，,（C（+）,cos(+)= cos cos sin sin,（C（+）,这个公式对于任意角、都成立.,例如cos(62,cos62,cos59,+59),sin62,sin

4、59;,cos(113,cos113,cos27,+27),sin113,sin27;,cos,cos,cos(),+(),sin,sin()，,cos(+)= cos cos sin sin.,（C（+）,cos,cos,cos(),+(),sin,sin()，,cos,cos(,cos,+,),sin,sin.,（C（）,例如 cos(113,cos113,+,cos27,27),sin113,sin27;,cos(113,cos113,+,cos27,+27),sin113,sin27;,cos,cos(,cos,+,),sin,sin.,（C（）,+,cos,),sin,=sin，,即

5、,=sin，,即,),cos(, 2,=sin，, 2,这里，等号两边的角的和为，,cos, 2,=sin( )，,这就是说，诱导公式,当为任意角时仍然成立.,),cos(, 2,=sin，,cos, 2,sin( ),cos(+)= cos cos sin sin.,运用上述公式，得,sin(+)=,=sincos,+cossin,即 sin(+)=sincos +cossin,sin(+)=sincos +cossin,（S（+）,在上式中用代替，得,sin()=sincos cossin,（S（）,当cos(+)0时，有,tan (+)=,若 cos cos0，得,tan (+)=,（T

6、（+）, tan ()=,= tan，,（T（）,公式S（+）、 C（+）、 T（+）给出 了任意角、的三角函数值(这里指正弦、 余弦或正切)与其和角+的三角函数值之 间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式 都叫作和角公式.,（T（+）, tan ()=,= tan，,（T（）,类似地，公式S（）、 C（）、 T（）都叫作差角公式.,sin(+)=sincos +cossin,（S（+）,sin()=sincos cossin,（S（）,cos(+)= cos cos sin sin，,（C（+）,cos()= cos cos +sin sin，,（C（）,等号右边“”的记忆方式：,在锐角范

7、围内，正弦函数是增函数， 余弦函数是减函数， ,sin(+)=sincos +cossin,（S（+）,cos(+)= cos cos sin sin，,（C（+）,记忆方式：,P,Q,M,N,E,F,sin(+),=QM,=ONsin+QNcos,= sincos + cossin;,cos(+),=OM,=ONcos QNsin,= coscos sinsin.,=NE+QF,=OEFN,例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值.,解：,sin75=sin(,45+30),=sin45cos30,+cos45sin30,cos75=cos(,45+30),=cos45co

8、s30,sin45sin30,例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值.,tan75=,或tan75=tan(,45+30),例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值.,sin15=cos75,或sin15=sin(,4530),=sin45cos30,cos45sin30,例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值.,cos15=sin75,或cos75=cos(,4530),=cos45cos30,+sin45sin30,例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值.,tan15=,或tan15=tan(,4530),例2、

9、已知 sin= ，( , )，,3 4, 2,cos= , (， ),3 2,求sin()、cos(+)、tan(+).,解：,2 3, cos=, sin=,例2、已知 sin= ，( , )，,3 4, 2,cos= , (， ),3 2,求sin()、cos(+)、tan(+).,2 3,sin(),=sincos,+cossin,例2、已知 sin= ，( , )，,3 4, 2,cos= , (， ),3 2,求sin()、cos(+)、tan(+).,2 3,cos(+),=coscos,sinsin,例2、已知 sin= ，( , )，,3 4, 2,cos= , (， ),3 2,求sin()、cos(+)、tan(+).,2 3,sin(+),=sincos,+cossin, tan (+)=,例3、利用和角公式求的值.,解：,=tan(45+15),=tan60,例3、ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.,证明：, tanA+tanB=,tanA、tanB、tanC都有意义，,ABC中没有直角，, tan(A+B)=,=tan(180C)tanAtanBtan(180C),= tanC+tanAta