20150318数值分析学生版作业

1、2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业计科专业_级_班 姓名:_学号:_第一章 绪论一、单项选择题1.用3.1415作为 的近似值时具有（ ）位有效数字。（A）3 （B）4 （C） 5 （D）62.已知数x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。(A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2二、填空题1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如 ,这时所产生的误差称为_误差.（填误差的类型）2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当时，应将表

2、达式改写为_以保证计算结果比较精确.3.在数值计算中，通常取 ，此时产生的误差为_误差（填误差的类型）.4.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有_位有效数字。三、计算题1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。第二章 插值法一、单项选择题1. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足 ( ).(A ) ( B) (C ) (D) 2. 是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个( ).(A) n+1次多项式 (B) n次多项式 (C) 次数小于n的多项式 (D) 次数不超过n的多项式二、填空题1. 设有节点 ，其对应的函数 的值分别为

3、，则二次拉格朗日插值基函数 .2.已知则.2. 已知 那么以1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_.3. 当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，则f(x)的拉格朗日插值多项式是 .4. 设 ，则关于节点 的二阶向前差分为_.5. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 _，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 _；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 _.6. 设,则的二次牛顿插值多项式为_. 7. 设为的n次拉格朗日插值多项式，则其插值余项为_.8. 已知则 ,_.9. 设则

4、差商.10. 设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则_； 。三、计算题1 给定数据 0235 1-3-42（1）写出 的3次Lagrange插值多项式 ；（2）写出 的3次Newton插值多项式 .2. 已知-1245-2457(1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多项式；(2) 求x， 使=0。3. 给定数据求三次拉格朗日插值多项式.4.已知函数在如下节点处的函数值-10121430（1） 建立以上数据的差分表；（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算的近似值；5.已知y=，=4，=9，用线性插值求的近似值。6.已知x1234F(x)021512计算三阶差商f1,3,4,7。7.

5、已知 1347f()021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。8.设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。若，试证。第三章 函数逼近于计算一、填空题1.用二次多项式 其中 是待定参数，拟合点 ，那么参数 是使误差平方和_取最小值的解。2.已知数据对 ,用直线拟合这 个点,则参数 满足的法方程组是_.二、计算题1.已知一组实验数据如下 12345 44.5688.5求它的拟合曲线（直线）.2、已知一组试验数据如下20 40 60 80 1004.35 7.55 10.40 13.80 16.80求它的拟合曲线（直线）。3求在0,1上求关于的一次最佳平方逼近多项式. 4.已知如下数据表

6、，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12506. 求在区间1/4,1上的关于权函数的一次最佳平方逼近多项式.7. 求在区间上的最佳二次逼近多项式.8. 已知-2-101242135求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。9.已知n+1个数据点，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：11.求在0，1上的一次平方逼近多项式。第四章 数值积分与数值微分一、单项选择题1.已知求积公式 ，则（ ）. 2.已知 时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数 ，那么（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 已知节点 插值型

7、两点求导公式是（ ）. 4.求积分公式 是( )次代数精度.( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题1.求积分公式 具有_次代数精度.2.设求积公式 ，若对_的多项式积分公式精确成立，而至少有一个 次多项式不成立，则称该求积公式具有 次代数精度.3.已知 时，科特斯系数 ，那么 .4. 求初值问题近似解的梯形公式是_.5. n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为_次，n个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 .6. 5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是 .7.个节点的Gauss型求积公式具有_次的代数精度.8.为使求积公式的代数精度尽量高，应使 ， ， ，此时公式具有

8、次的代数精度。9.数值微分公式的代数精度为_.三、计算题1. 试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 .2.已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算.3. 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。4.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. 5.已知的函数值如下：1.82.02.22.42.63.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求的近似值. 6.已知的函数值如下表 用复合梯形公式和复合Simpson公式求的近似值.第五章 常微分方程数值解法一、单项

9、选择题1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是,那么分别为( ). 2. 求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为( ). .3.解微分方程初值问题的方法，（ ）的局部截断误差为.(A) 欧拉法 (B) 改进欧拉法(C) 三阶龙格库塔法 (D) 四阶龙格库塔法二、计算题1. 写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题 的计算公式,并取步长 ,计算 的近似值,小数点后至少保留4位.2.用Euler方法求解初值问题，取在区间计算,结果保留到小数点后4位.3.初值问题 有精确，试证明： 用Euler法以为步长所得近似解的整体截断误差为4.写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算

10、公式：（无需计算）, ,5.用改进欧拉法求解 ，取两位小数。6. 取步长，用梯形法解常微分方程初值问题 7.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。第六章 方程求根一、单项选择题1. 求解方程,若可以表示成,则用简单迭代法求根,那么满足( ),近似根序列,一定收敛. 2.下列说法不正确的是( ). (A) 二分法不能用于求函数的复根. (B) 方程求根的迭代解法的迭代函数为,则迭代收敛的充分条件是 . (C) 用高斯消元法求解线性方程组 时,在没有舍入误差的情况下得到的都是精确解. (D) 如果插值节点相同,在满足插值条件下用不同方法建立的

11、插值公式是等价的.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。 A. B. C. D. 4. 求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法(1) (2) (3) (4) 中，收敛的迭代法是（ ）.A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)二、填空题1.牛顿下山法的下山条件为_.2.因为方程在区间上满足_, 所以在区间内有根。3求方程 的近似根，用迭代公式，取初始值 ，那么 .4.已知方程 在区间 内有根,构造方程的一种迭代格式为,则该迭代法_收敛的(填是或不) .5.设可微,求

12、方程根的牛顿迭代格式是_.6.用牛顿下山法求解方程根的迭代公式是_，下山条件是 。7.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 。8.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 迭代计算。9. 求方程根的Newton迭代格式为 。10.迭代过程收敛的一个充分条件是迭代函数满足_。11. 设可微,求方程根的牛顿迭代格式是_。12. 用二分法求方程在区间内的根，迭代进行二步后根所在区间为_.13. 用二分法求(x)=0(xa,b )根的条件是_.三、计算题1.用Newton迭代法求方程的实根，要求.2.用牛顿法求在附近的

13、根，根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字3.设a为常数，建立计算的牛顿迭代公式，并求的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。（6分）第七章 解线性方程组的直接方法一、单项选择题1.线性方程组 能用高斯消去法求解的充分必要条件是( ).(A) A为对称矩阵 (B) A为实矩阵(C) (D) A的各阶顺序主子式不为零2.当线性方程组的系数矩阵是( )时,用列主元消去法解,的主对角线上的元素一定是主元.（A）上三角形矩阵 （B）主对角线元素不为0的矩阵（C）对称且严格对角占优矩阵 （D） 正定对称矩阵3.用选主元的方法解线性方程组,是为了( ). (A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差(C

14、) 减少相对误 (D ) 方便计算4.在近似计算中，要注意以下原则：（1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数，（3）防止溢出 （4）减少计算次数列主元消元法解方程组是（ ）.A(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)5. 线性方程组 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要条件是（ ）。A. A 为对称矩阵 B. A为实矩阵C. A0 D. A的各阶顺序主子式不为零二、填空题1.设向量,则 , , 2.已知，则 (1分)， .3.设向量 ,则 4.使用消元法解线性方程组时，系数矩阵可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即 若采用高斯消元法解，其中，则_

15、，_；5.将作Doolittle分解(即分解),则L=_,U=_. 三、计算题1.用高斯消去法解线性方程组2.用高斯消去法求解方程组3.用列主元消去法解线性方程组. 4用列主元消去法解线性方程组5. （本题10分）用LU分解法解线性方程组.6. 求矩阵的LU分解，并求方程组的解，其中.第八章 解线性方程组的迭代法一、填空题1.设矩阵A是对称正定矩阵，利用_迭代法解线性方程组，其迭代解数列一定收敛。 2.用20.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 。3.用迭代法解线性方程组时，使迭代公式产生的向量序列收敛的充分必要条件是 .4.松弛法 ()解方程组的迭代公式是_.三、计算题1 给定线性方程组（1）写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；（2）考查Ja