大学高等数学第一章函数(习题精讲)

1、第1章函数1.11.1函数的概念和性质函数的概念和性质1.1 .绝对值和不等式绝对值和不等式(a 0，b 0) (1) x x x； 像是调和平均数值对数平均值值算术平均数值为2 x 1、2 n、n、n、x 1、x 2、n (3)最大值、b abababab。 mina，b 2222 2.2 .函数概念和性质函数概念和性质对于变量xD的各确定值，如果变量y遵循某确定规则f，并且只对应一个确定值，则变量y是变量x的函数，标记为y f (x )，xD。 注意:定义域d和对应规则f是函数相等的两个要素。 (1)无关性y f (x) f (t)x、tD (2)单调性x 1、x2 I、x1x2f (x1

2、) f (x2) f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) f (x2) f (x )严格单调增加f (x )严格单调减少f (x ) 如果有界性xD、f (x) M、M 0，则f (x )在d上称为有界。 常用有界函数: sin x 1，cosx 1，(，)； 0/8 arcsinx 2、arccosx、1、1； arctanx 2，arccot x，(，)3.3.复合函数复合函数将y f (u )的定义域设为D f，u (x )的值域设为z，D f Z (空集合)设为y f(x )的4.4 严格单调函数中必须有反函数的11x f (x )的z f f(x) xf f (x)

3、x x f (x )的D ff 5.5 .初等函数初等函数是从基本初等函数开始经过有限次四则运算和有限次复合而成的，能够由一个解析式表示的函数称为初等函数。 基本初等函数:函数y x (实数)指数函数y a(a 0，a 1)； 按对数函数记录的日志(a 0，a 1)； 三角函数y sin x、cosx、tanx、cotx、secx、cscx； 反三角函数y arcsin x、arccos x、arctanx、arccotx.分段函数和指数函数的分段函数通常不是初等函数。 这是因为一般无法用那个定义域用解析式来表示。 幂指函数y x一般不属于初等函数，因为不能用初等函数复合，但是规定xx0时，y

4、 xx exlnx是初等函数。 1.21.2典型例题解析典型例题解析例3知道不等式2x1，用区间表示不等式的解集解析解析为了解该不等式先去除绝对值符号，由于x零点，将区间分为(，)和端点，最后综合得出结论。 1，x 1分别为2x 1，x 1的211，1，(1，)，考虑各单元间x的可取值的范围21/811x11x (，) x 2(，) 22 11解法1 12x1 x1 2x11 x (，)的2 ) x (2，2解法解法22(2x1) (x1) x (x2) 1.1 .函数定义域的求出方法函数定义域的求出方法解问题构想解问题构想(1)分式(2)复合函数的定义域由单纯函数的定义域构成的不等式组的解集

5、合。例4求出次函数的定义域(1)y arcsin 1lg(x2)1 x 2。 1个4x 3x4 1 x 4 1解析度1 LG (x2)0x 20 x3x 40 x5x 12 (2，4 ) x 2。 以0和1作为已知f (x )的定义域，得到f (xa) f (xa)(a 0)的定义域解f (xa )的定义域:0 xa 1 a x 1 a。 当f (xa )的定义域:0 xa 1a x 1a f (xa) f (xa )的定义域: xa、1 a是1 a、a、1a 11时，定义域是空集。 在1a、a的情况下，定义域为a、1a； 因此，求a，1a 2.2 .函数解析式的方法.函数解析式的方法.解题思

6、路.解题思路. (1)将已知变量汇总成与f ()内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性对求解的(2)f ()内进行变量置换，利用无关特性与原方程式联立求解。 通过用f代入从2/8 (3)至f (x )的公式获得f (x )的通用方法是获得u (x )，由此获得x 1(u )和从(x )获得f (u) 1 x例子5，并获得下一函数解析式(u )。 如果分析命令t 111用原始方程式代替bf (t)af () sin ()，那么XT t1af (x ) BF () sin x 11xf (x ) 2211 abx BF (XT t1af (x ) BF ()就是2111 x 21114 f (

7、x ) lnx ln (x1)。 如果22x2x命令x 11111 f (x) ln 2 t，那么将原始方程式与f (t ) ln2x 22x21111 f (x ) ln (41 )加在一起ln 2x2t 22x 2例6求以下函数关解析式字x21 x (1)中的已知的f (ln x) 2，其中，(x )的定义域求x 0和f (x)e，而(x )求x)x1e2u 知道x 1 x1，求f的ueu1f (u ) uex1x0eu1u0f (x ) u0e1u0x3.3.定义确定函数的关联特性利用定义确定函数的关联特性解题构想构想(f (x) f (x) 0，则f (x ) t为f (x )的周期，

8、则f (x ) t为f (x )的周期。 若f (x )、g(x )分别是以T 1、T 2 (T 1 T 2)为周期的函数，则f (x )、g(x )的周期成为T 1、T2的最小公倍数。 如果(4)x1x2和f (x2) f (x 1) 0、f (x2)/f (x 1) 1是绝对值，则可确定f (x )单增量，其中f (x2) f (x 1) 0、f (x2)/f (x 1) 1是不等式的定标法或函数的最大值。 求出例如7f(xy)f(x)f(y )、y F(x)(11 )、(a 0、a 1)的奇数性x 21 a ax1ax1g (x )解并求出g。 得到的f (0)0F(x ) f (0)0

9、f (x ) f (x )即f (x )是奇函数，而y F(x)(11 )是偶函数。 21 ax示例8将f (x )定义为a，a(a 0)，f (x )可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，表示法证明了一个分析是(x) (x )、(x ) ()。 唯一性:单独的关偶函数字1(x )和单独的关字1(x )和单独的关字2 (x )的唯一性例9证明下一个函数是周期函数，求出其最小正周期，证明下一个函数是周期函数，由于其最小正周期(1)f (x) sin(2x3)解法sinx的周期是2，所以求出的周期是t2解法2f(x)sin(x )即T (2)y sinx cosx (2)如果YF (x )的图形关

10、于直线x 1、x 2对称，则f(x )是周期性的偶函数。 如果分析(1)yf(x )的图形关于直线x a将对称点定为(x，y )和(x，y )，则x 2a x、y yf (x) f (2a x )是相反的，x 2a x是倒f (xa) f2a(xa) f (ax )的一盏茶性: xR 如果存在f 1、f 1、f 1、f 2、f 1、f 1、f 2、x 2、x 1、x 2、x 1、x 2、x 1、x 1、x 2、x 1、x 1、x 2、x 1、x 2、x 2、x 1、x 2、x 2、x 2、x 2、x 1、x 2、x 2、x 2、x 2、x 2、x 2、x 3、x 4、x 4、x 5、x 5 如果f (x )是(0，)的单减函数，则f (x) f (x) f (x )； x (3) f (a ) f (b ) (a 0，b 0)证据(1)是从问题中得知的，其中，01、01x x、xx和x0是f (x )。http:/www.B /小毛毛/f (x) f (x )、f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) (3)命令x ab、ab和ababf(ababf )注意x的不同可能值的范围是原始函数的值域1 2 2 (x 1)0 x 1 (2)y 1 (2 x)1 x 2 3 6/8 由于y (2 x )的值域是341 yx3y1y 12 x1x 2，所以x4