hzf第9章——薄板弯曲问题2ppt课件

1、 9-5 四边简支矩形薄板的重三角级数解,边界条件:,Navier(纳维):,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,如过某点有一个集中载荷P,薄板弯曲问题,对边AD和BC为简支边,边界条件为:,Levy(莱维):, 9-6 矩形薄板的单三角级数解,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,把q/D展开,四边简支矩形板受均布载荷作用,取特解：,薄板弯曲问题,载荷和边界条件关于 x 轴对称,w 应为 y 的偶函数,薄板弯曲问题,The boundary condition:,薄板弯曲问题,收敛快 应用广 运算繁,薄板弯曲问题,The boundary conditi

2、on:,补例：两边简支、两边固支的矩形板受均布载荷作用。,解：,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,The boundary condition:,补例: 四边固支的矩形板受均布载荷作用,只取一项：,薄板弯曲问题,两边同乘以：,两边同时积分：,薄板弯曲问题,对于各种边界条件下承受各种横向载荷的矩形薄板，在专著和手册中可得到挠度和弯矩的表格和图线。,薄板弯曲问题,应用差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。,首先将挠曲线微分方程变换为差分方程,插分方程,97矩形板的差分解,对 点，即,固定边和简支边附近的w 值，如下图所示。,若AB为简支边，对于o 点，,若AB为固定边，则对于o点，,(a)固定边,(b)

3、简支边,9-11,对于自由边的情形，边界点是未知数，须列式(a)的差分方程，其中涉及边界外一、二行虚结点的 w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。,对于具有支承边（简支边，固定边）的矩形板，每一内结点的w值为未知数，对每一内结点应列式(a)的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的 w值，如式(b)或(c)所示。,例1 四边简支的正方形薄板， ，受到均布荷 载 的作用，试取 的网格，如图 ， 用差分法求解薄板中心点的挠度和应力 （取 ）。,9-12,网格,精确解,答案:,例2,同上题，但四个边界均为固定边。,网格,精确解,答案:,总之，对于具有支承边的矩形板，采用差分法求解是十分

4、简便有效的，取较少的网格便可求得精度较好的挠度值w。而由 w求内力时，对近似解w求导数后会降低精度，所以须适当地加密网格。, 9-8 圆形薄板的弹性分析,一、基本方程（柱坐标）,薄板弯曲问题,薄板横截面上的内力：,薄板弯曲问题,薄板横截面上的内力：,薄板弯曲问题的弹性方程,薄板弯曲问题,薄板横截面上的应力：,薄板弯曲问题,二、板边边界条件：,（1）固支边：,（2）简支边：,M,M,（3）自由边：,薄板弯曲问题,特解,薄板弯曲问题, 9-9 圆形薄板的轴对称弯曲,薄板横截面上的内力：,薄板弯曲问题,边界条件：,（1）薄板中心无孔,r 0 时w 有有限值：,r 0 时Mr 有有限值：,薄板弯曲问题

5、,（2）周边固支,薄板弯曲问题,Mr,Mq,w,薄板弯曲问题,特例:,（1）周边简支受均布载荷,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,（2）周边简支沿内缘受均布力矩的环板,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,（3）周边简支沿内缘受均布剪力的环板,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,(4) 周边简支圆板在外边界受均布力矩作用。,解：,中心无孔,无均布载荷,z,a,M,M,薄板弯曲问题,(5) 周边简支圆板在外边界受均布力矩作用，在中心有链杆。,解：,中心无孔,无均布载荷,z,a,M,M,r,薄板弯曲问题,(6) 周边固支圆板在中心受集中力作用。,解：,中心无孔,无均布载荷,薄板弯曲问题,周边简支时：,薄板弯曲问题,(7)

6、 周边固支圆板在中心有位移。,解：,中心无孔,无均布载荷,z,r,a,s,薄板弯曲问题,例 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示。,x,y,z,M0,q,o,A,C,B,a,b,解：（1）OA边,（2）OC边,后一式用挠度表示为,薄板弯曲问题,（3）AB边,用挠度表示为,（4）BC边,薄板弯曲问题,用挠度表示为,（5）在B支点,薄板弯曲问题,习题9-2 有一块边长分别为a和b的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求出最大挠度、弯矩和反力。,x,y,z,o,a,b,解：

7、不难验证w能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程,可确定 ，从而求出挠度、弯矩和反力。,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,薄板弯曲问题,习题 有一半径为a 的圆板，在 r=b 处为简支，荷载如图所示。求其最大挠度。,q,q,r,z,b,a,解： 板的挠度函数可分两部分表达,薄板弯曲问题,和 的各阶导数如下：,薄板弯曲问题,在 r =a 及 r =b 处的边界条件或连续条件为,将挠度及其导数代入上述六式，可解出六个常数如下：,薄板弯曲问题,把求出的常数代入 的表达式，并将 与 进行比较，较大者即为圆板的最大挠度。,薄板弯曲问题,第九章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题5,例题,固定边椭圆板的

8、边界方程为,受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。,例题1,由 ，显然 。因此，从方向,解：固定边的边界条件是,(a),(b),导数的公式可推出，,为了满足边界条件(a)，可以令,便可满足式(a)的边界条件。 对于均布荷载 ，将式(c)代入方程 得出 ，并从而得,因此，只需取,(c),内力 为,读者可以检验，最大和最小弯矩为,当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。,四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。,例题2,解：将 代入积分式，,由三角函数的正交性，,及,得,代入 ，得挠度的表达式为,四边简支矩形板，如图，

9、在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。,例题3,解： 板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为,代入系数 的公式，,(n=1,3,5),得出挠度为,四边简支矩形板，受静水压力作用， ，如图，试用单三角级数求解其挠度。,例题4,解： 应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即 代入式(d)，方程的特解可取为,从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴， 应为 的偶函数，由此， 。于是 的表达式为,在 的边界，有简支边条件,将挠度 代入边界条件，记 ，得,解出,从而得挠度解答,发生在薄板的中心点的挠度为 与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为,例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板