线性代数与空间解析几何.ppt

1、线性代数与空间解析几何,授课教师：李永彬 yongbinli 助教:刘国富董彦磊笛卡儿(1596 1650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点.,世上所有的问题数学问题 方程组求解问题单变元方程求解问题,线性代数的核心问题、源头 -如何求解:,鸡兔同笼问题- 有一笼鸡和兔，共有头20，足46，求鸡兔各多少只？,1.1 矩阵及其运算,一. 矩阵的概念,二. 矩阵线性运算,三. 矩阵的乘法,四. 矩阵的转置,第一章 矩阵及其初等变换,1.1 矩阵及其运算,

2、一. 矩阵的概念,某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,矩阵就是一个数表,由mn个数排成的m行n列的数表,称为一个m行n列的矩阵，简称mn矩阵 aij: 矩阵第i行j列的元素,常记为Amn 或A=(aij)m n , 如：,零矩阵: 如,m=n时, 称A为n阶矩阵（方阵）,行矩阵、列矩阵:,对角矩阵:,aii称为对角元,单位矩阵:,上三角形矩阵、下三角形矩阵：,方程组(*)的增广矩阵,线性方程组与矩阵的对应关系:,方程组(*)的系数矩阵,二 矩阵线性运算,同型矩阵:,A与B相等:,矩阵的加法:,

3、不同型的矩阵不能相加！,例1. 设,解:,注意:,同型矩阵才可能相等(可以相加),负矩阵:,减法:,数乘:,例.,对应元素相减,矩阵的线性运算: 加法、数乘,矩阵的线性运算满足如下八条性质：,四条加法规则,加法交换律,加法结合律,零矩阵,负矩阵,两条数乘规则,数乘 1,数乘的结合,两条加法与数乘的结合规则,数乘, 加法的分配律,1.定义,=,cij C,三 矩阵的乘法,例3.,解:,例4.,AC无意义,解:,例5.,解:,且 AB=O A=O 或 B=O,但是 IA=A=AI ( k I )A = kA = A(k I),(矩阵乘法不适合消去律),例6. （线性方程组的矩阵形式）,方程组可写成

4、：,矩阵乘法的运算规律:,(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA +CA,证明: ( AB)C =A(BC),证:,所以，(AB)C = A(BC),方阵的幂,设A是n阶方阵, k是正整数, 规定:,若m, k是正整数, 显然:,方阵的多项式,设有多项式 f (x), g(x), A, B 为n阶方阵, 则 f(A) g(A) = g(A) f (A),是x的多项式, A是n阶方阵, 称:,是方阵A的k次多项式,为什么?,何时等号成立？,但是,四. 矩阵的转置,规定A的转置矩阵为：,例7.,性质:,

5、1)( AT)T = A 2) (A+B)T = AT+BT 3) (kA)T = kAT 4) (AB)T = BTAT (A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1,证明,例8.,解:,计算准则: 先化简，后计算,对称矩阵: AT = A,反对称矩阵:,例9. 下列矩阵是否对称矩阵，反对称矩阵？,问题: 数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？,同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？,同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？,例,例10. 设A, B均为n阶对称阵, 则: AB对称 AB = BA.,证: ：,:,结论: 对任意矩阵 A，AAT 和 ATA都是对称矩阵.,证： (AAT)T = (AT)

6、TAT = AAT,思考: 设A, B是同阶方阵,其中A对称(反对称), B对称(反对称), 则A+B(AB, AB)如何?,例11. 设A为实对称对称阵. 证明: 若A2=O, 则A = O. (中科院研究生考题),思考: 设A为实矩阵. 证明: 若ATA=O, 则A = O.,证:,设,A对称,1.2 高斯消元法、矩阵的初等变换,一. 引 入,二. 初等变换与高斯消元法,三. 初 等 矩 阵,一. 引 入,1.2 高斯消元法、矩阵的初等变换,齐次方程组: AX = 0;,非齐次方程组: AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零),为AX = b的解：,AX = b 成立.,问题:,

7、方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？,使得方程组成立,例1. 考虑方程组的如下同解变换:,行简化阶梯矩阵,得一般解(无穷多组解),二. 初等变换与高斯消元法,例2. 若某方程组经同解变换化为,行阶梯形矩阵,显然，有唯一解.,例3. 若某方程组经同解变换化为,显然，无解.,即,矩阵的行（列）初等变换：,交换两行（列）的位置； 用一非零数乘某一行（列）的所有元； 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去.,高斯消元法: 对增广矩阵实施行初等变换化为 行（简化）阶梯形,行阶梯形矩阵:,(1) 后一行第一个非零元素所在列在前一行的右方,行简化阶梯形矩阵:,(1) 行阶梯形矩

8、阵,(2) 每一行的第一个非零元素是1,(3) 每一行第一个非零元1所在列的其它元素均为0,(2) 全零的行 在任一非零行的下方,例4. 是否为行(简化)阶梯形？,例5. 解方程组,解:,无解！,例6. 解方程组,解:,为方程组的全部解.,增广矩阵经行初等变换化为行（简化）阶梯形后，阶梯形的形状与方程组解的关系：,行（简化）阶梯形中 非零行的行数未知量个数,无穷多解,该数不为零，无解,行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数,唯一解,问题: 对于齐次方程组 AX = 0 ？,行（简化）阶梯形中 非零行的行数未知量个数,有非零解(无穷多解),行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数,只有

9、零解(唯一解),系列行初等变换,一般地，设线性方程组AX=b的增广矩阵为：,(无解),(无穷多解),自由未知量,受约束未知量,A 与 B 等价：A B .,矩阵等价的性质:,记为,(对称性),(传递性),三. 初 等 矩 阵,例1,初等矩阵: 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵,i 行,j 行,三种初等矩阵:,i 行,i 行,j 行,定理 对矩阵A作一次行（列）初等变换，相当 于在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵.,左乘行 右乘列,应用:,1.若矩阵B是A经有限次行初等变换得到的，则存 在有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,2.若矩阵B是A经有限次列初等变换得到的，则存在 有限个初等矩

10、阵E1, , Ek , 使得,3.若矩阵B是经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵P1, , Pk , Q1, , Qt使得,例7 设矩阵,则B= ( ),答案 (4), 1.3 逆 矩 阵,一. 逆矩阵的概念与性质,二. 用行初等变换求逆矩阵,1.3 逆 矩 阵,一. 逆矩阵的概念与性质,数a 0：a a-1 = a-1 a =1,什么样的矩阵A: A ? = I,设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得 AB = BA = I,则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1 = B.,若A可逆，则A-1存在，且 AA-1 = A-1A = I.,单位阵 I :,对角阵:,I1 = I,

11、定理1. 设A可逆， 则它的逆是唯一的.,证,设有B和C 满足 AB = BA = I, AC = CA = I.,可以证明:,则,若A, B均为方阵，且AB = I (或 BA = I), 则: A可逆且B=A1.,思考: AB=kI可得什么？,性质：设A, B 均为n阶可逆矩阵，数0，则,证 3：,4：,1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A; 2. A可逆，且 (A)-1 = 3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1 A-1; 4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T.,例1. 设方阵A满足A2 - A - 2I =O, 证明： (1) A和I - A都可逆，并求其逆矩阵；

12、 (2) A+I 和A-2I不同时可逆.,考研常见题型: 已知矩阵的一个等式，证明某矩阵可逆, 或进行计算,基本技巧:,(1) 从已知等式变形出(矩阵1)(矩阵2)=kI,(2) 先化简, 后计算,设方阵A满足A2 A 2I =O, 证明： (1) A和IA都可逆，并求其逆矩阵； (2) A+ I 和A2I不同时可逆.,证 (1):,例,设方阵A满足A2 A 2I =O, 证明： (1) A和I A都可逆，并求其逆矩阵； (2) A+ I 和A2I不同时可逆.,(2):,所以，A+I 和A-2I不同时可逆.,为什么？,已知方阵的等式证明方阵不可逆:,( 方阵1 ) ( 方阵2 )O,方阵1 ,

13、 方阵2 不能同时可逆！,例2,证:,证明:,例3,设方阵A满足: Ak=O , (1) 证明: (I-A)可逆 (2) 计算(I-A)-1,证及解:,另一思考方式:,例4. 设A可逆，则,问题：初等矩阵可逆吗？其逆阵呢？,为什么？,技巧:,(1) 矩阵等式两端同左乘某矩阵 (2) 使用逆矩阵时一定要先判断矩阵的可逆性,定理 设A为n阶矩阵，则如下命题等价:,1. A是可逆的； 2. AX = O只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,则BX = 0只有零解.,证 12:,23:,显然(why?),设A经一系列初等行变换化为行阶梯形B,断言: B的对角元均非零

14、,否则 B最后一行元均为零, BX=O有非零解, 矛盾!,于是B可经一系列初等行变换化为行简化阶梯形,I,由条件，A可经行初等变换得I.,故存在初等矩阵 使得,41:,显然(why?),34:,1. A是可逆的； 2. AX = O只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件 是A可逆.,证 充分性:,必要性:,反证 设AX = b有唯一解X0 , 但A不可逆.,A不可逆 AX = 0有非零解Z.,令Y=X0+Z, 则Y为AX = b的解，矛盾!,A可逆，则AX=b有唯一解,二. 用行初等变换求逆矩阵,设A可逆

15、，,所以存在初等矩阵E1, , Ek, 使得,方法:,目的: 给出逆矩阵的计算方法,当A经系列初等行变换化为I 时,I 经相同的初等行变换化为A1!,初等行变换,设A可逆，则存在初等矩阵E1, , Ek, 使得,方法:,当A经系列初等行变换化为I 时,B 经相同的初等行变换化为A1B!,初等行变换,计算A1B,例5. 求A的逆矩阵：,解:,例6. 求A的逆矩阵：,解,为什么？,故A不可逆,例7.,设矩阵,技巧: 先化简后计算,例8 解矩阵方程 ：,类似，可计算BA-1,思考：最佳方法？,其他类型的矩阵方程:,联立得9元方程组，求解之！,解:,例9. 设三阶方阵A, B满足关系:,求B,1.4 分块矩阵,例.,又如,块对角矩阵,常用矩阵分块方法:,分块矩阵的运算,加法:,要求: 两矩阵的行、列分块方法一致,数乘:,分块矩阵,同型矩阵,乘法:,其中C是 矩阵,要求: 1) 矩阵A的列数=矩阵B的行数 2) 矩阵A列的分法=矩阵行B的分法,例1. 求AB:,解:,设A, B均为n阶矩阵，且分块相同，则,Ak =？,将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的.如, 例1中,注意:,解,例2. 如何分块求AB:,转置:,例.,逆:,例3 设矩阵,求 A 的逆 .,解