2018年高考数学二轮复习 专题05 不等式与线性规划讲学案 文

1、专题05 不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力1(1)若ax2bxc0有两个不等实根x1和x2(x10(a0)的解为x|xx2，或xx1，ax2bxc0)的解为x|x1x0(a0)恒成立的条件是(3)ax2bxc0，b0)；(3)不等关系的倒数性质；(4)真分数的变化性质若0n0，则0，b0)，x(0，)取最小值时，ax

2、x，即“对号函数”单调变化的分界点；(6)a0，b0，若abP，当且仅当ab时，ab的最大值为2；若abS，当且仅当ab时，ab的最小值为2.3不等式ykxb表示直线ykxb上方的区域；ykxb表示直线ykxb下方的区域考点一不等式性质及解不等式例1、(1)已知实数x，y满足axay(0ax，即得不等式的解集设x0，于是f(x)(x)24(x)x24x，由于f(x)是R上的奇函数，所以f(x)x24x，即f(x)x24x，且f(0)0，于是f(x)当x0时，由x24xx得x5；看出当f(x)x时，x(5，)及(5,0)考点二基本不等式及应用例2、【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物60

3、0吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立. 【变式探究】(1)设a0，b0.若关于x，y的方程组无解，则ab的取值范围是_【答案】(2，)【解析】通解：依题意，由axy1得y1ax，代入xby1得xb(1ax)1，即(1ab)x1b.由原方程组无解得，关于x的方程(1ab)x1b无解，因此1ab0且1b0，即ab1且b1.又a0，b0，ab，ab1，因此ab22，即ab的取值范围是(2，)优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线axy1与xby1平行且不重合，从而可得ab1，

4、且ab.又a0，b0，故ab22，即ab的取值范围是(2，) (2)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5【答案】C【解析】通解：因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，故选C.优解：如图a，b分别是直线1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a1时，b，当b1时，a，只有点(1,1)为AB的中点时，ab最小，此时a2，b2，ab4.【方法技巧】1常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2

5、)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解2拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题【变式探究】已知函数f(x)x2的值域为(，04，) ，则a的值是()A. B.C1 D2考点三求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】画出约束条件表

6、示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D. 【变式探究】(1)(2016高考全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元【答案】216 000 (2)(2016高考全国卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最小

7、值为_【答案】5【解析】通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由zx2y得yxz，作直线yx并平移，观【方法技巧】求目标函数的最值的方法1几何意义法(1)常见的目标函数截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值距离型：形如z(xa)2(yb)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z|PM|2.斜率型：形如z，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM.(2)目标函数zxy的几何意义由已知得y，故可理解为反比例函数y的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断设P(x，y)，则|xy|表示以线段OP(O为坐

8、标原点)为对角线的矩形面积2界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值【变式探究】设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5B3C5或3 D5或3【解析】通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线xay0，可知在点A处，z取得最小值，1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D2.【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是A. B. C. D 【答案】A3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条

9、件，则的取值范围是（ ）A3,0B3,2C0,2 D0,3【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是A0，6 B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D7.【201

10、7江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解

11、析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.4.【2016高考浙江文数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京文数】若，满足，则的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为4，故选C. 6.【2016年高考四川文数】设p：实数x，y满足，q：

12、实数x，y满足 则p是q的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A7.【2016高考新课标3文数】若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元【答案】【

13、解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为 1.【2015高考北京，文2】若，满足则的最大值为（ ）A0B1CD2【答案】D2【2015高考广东，文6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A B. 6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=x

14、+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=31+2=，故选：B3.【2015高考天津，文2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C4.【2015高考陕西，文10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【答案】D5.【2015高考福建

15、，文5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A6.【2015高考山东，文6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B 【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，文15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.8.【20

16、15高考浙江，文14】若实数满足，则的最小值是 【答案】.9【2015高考新课标2，文14】若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】【考点定位】线性规划10.【2015高考湖南，文4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.11.【2015高考四川，文9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B12.【2015高考陕西，文9】设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D

17、【答案】C【解析】，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C1. 【2014高考安徽卷文第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A, B. C.2或1 D.【答案】D【考点定位】线性规划2. 【2014高考北京版文第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）A2 B C D【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为_.【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.【考点定位】线性规划.4. 【2014高考福建卷第13题】要制作

18、一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）.【答案】88 【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点定位】函数的最值.5. 【2014高考广东卷文第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ） A. B. C. D.【答案】C上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，故选C. 【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约

19、束条件，且的最小值为，则.【答案】【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,当为最优解时, 因为,所以,故填.【考点定位】线性规划7. 【2014辽宁高考文第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 . 【答案】当时，综上可知当时，【考点定位】柯西不等式. 8. 【2014全国1高考文第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ， ，其中的真命题是（ ）A B C D【答案】B【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词10. 【2014山东高考文第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】【解析】由及指数函数的性质得，所以，选.【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11. 【2014山东高考文第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.12. 【2014四川高考文第4题】若，则一定有（ ）A B C D4若，则一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】，又.选D【考点定位】不等式的基本性质.13. 【2014四川高考文第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）A B