2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修2-1

1、26.2求曲线的方程学习目标1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法知识点一坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何知识点二解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质知识点三求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系；(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，

2、y)；(3)列出符合条件P(M)的方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上思考(1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案(1)可以省略如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程(2)不一样若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚题型一直接法求曲线方程例1动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于，求动点M的轨迹方程解如图，以直线AB

3、为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA，kMB(xa)kMAkMB，化简得：x22y2a2(xa)点M的轨迹方程为x22y2a2(xa)反思与感悟直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少跟踪训练1已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程解如图，设C(x，y

4、)， 则(x1，y)，(x1，y)C为直角，即0.(x1)(x1)y20.化简得x2y21.A、B、C三点要构成三角形，A、B、C三点不共线，y0.点C的轨迹方程为x2y21(y0)题型二定义法求曲线方程例2 已知圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ，设M为OC的中点，则M的坐标为(，0) OPC90，动点P在以点M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得(x)2y2(0x1)反思与感悟如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹方程要善于抓住

5、曲线的定义特征跟踪训练2已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程解作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知OMAB3. 所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2y29.题型三代入法求曲线方程例3已知动点M在曲线x2y21上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，P为MB的中点，即又M在曲线x2y21上，(2x3)24y21.P点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且

6、Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程跟踪训练3已知ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程解设G(x，y)为ABC的重心，顶点C的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得所以因为顶点C(x，y)在曲线yx23上，所以3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21.故点M的轨迹方程为y3(x2)21. 求曲线方程忽略限制条件致错 例4直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相

7、交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程错解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OMMP，得OP2OM2MP2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.正解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OMMP，得OP2OM2MP2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点M应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故点M的轨迹方程为(x)2y2(0x)易错警示错误原因纠错心得错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内的部分，此时应考虑0x0)y y(0x2)答案解析设M(x，y)，由MO2得，x2y24，又点M在第四象限，y(0x2)5设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且PA1，则动点P的轨迹方程是_答案(x1)2y22解析圆(x1)2y21的圆心为B(1,0)，半径r1，则PB2PA2r2.PB22.动点P的轨迹方程为：(x1)2y22.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同2一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等3方程化简到什么程度，课本上没有给出