2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一）导学案 新人教A版必修4

1、1.2.1任意角度的三角函数(一)学习目标：1 .借助单位圆，从任意角度理解和掌握三角函数的定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数；2.借助任意角度三角函数的定义，理解和掌握各象限正弦、余弦和正切函数值的符号；3.请理解，具有相同端边的相同三角函数的值是相等的。知识点-任意角度的三角函数使锐角的顶点与原点o重合，开始边与x轴的非负半轴重合，在结束边取点p，让PMx轴为m，让P(x，y)| op |=r .想想角度的正弦、余弦和正切等于多少？答案是sin =，cos =，tan =。想想锐角、sin 、cos 和tan 的值是否随着p点在终端边缘上的位置而改变？答案是否定的，因为三角函数值是一

2、个比值，它的大小与终点边上点P(x，y)的位置无关，而只与角的终点边位置有关，也就是说，三角函数值只与角有关。在思维1中，当| op |=1时，sin 、cos 和tan 的值是如何表示的？答案是sin =y，cos =x，tan =。梳理(1)单圈在直角坐标系中，我们称原点为中心，单位长度为半径的圆为单位圆。(2)定义在平面直角坐标系中，假设是一个任意角度，它的终端边和单位圆在点P(x，y)相交，那么：(1) y被称为的正弦，它被记录为sin ，即，sin=y；2 X称为的余弦，记录为cos ，即cos=X；称为的切线，称为tan ，即tan =(x 0)。对于确定的角度，以上三个值是唯一确

3、定的。因此，正弦、余弦和正切都是以角度为自变量，以单位圆上的坐标或坐标比为函数值的函数，统称为三角函数。知识点2正弦、余弦和正切函数的定义域考虑任何角度，sin ，cos ，tan 有意义吗？根据三角函数的定义，对于任何角度，sin ，cos 都是有意义的，当角度的端边在y轴上时，如果取任何点p，它的横坐标x是0，这是没有意义的，所以tan 是没有意义的。梳理三角函数的领域函数名定义领域正弦函数r余弦函数r正切函数知识点每个象限有正弦、余弦和正切函数值的三个符号根据三角函数的定义，你能判断每个象限中正弦、余弦和正切函数的符号吗？根据三角函数的定义，在平面直角坐标系中，如果是一个任意角度，并且它

4、的端边在点P(x，y)处与单位圆相交，那么sin =y，cos =x，tan =。当是第一象限角，y0，x0，所以sin 0，cos 0，tan 0，类似地，在其他象限。结合记忆公式：“一个全正，两个正弦，三个正切，四个余弦”。知识点四归纳公式一当角度为30、390和-330时，它们的终端边缘有什么特征？他们的三角值呢？它们的最终边缘重合。根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等。梳理诱导一级方程式sin(+k2)=sin ，cos(+k2)=cos ，tan(+k2)=tan ，其中k z。类型三角函数定义的应用命题角度1。通过知道角的端边上一点的坐标，求出三角函数值例1:已知终端边缘上的点

5、P(x，3)(x0)，cos =x，因此求sin 和tan 。答案由问题的含义给出，Cos =由三角函数定义=。并且cos=x，=X .x0,x=1.当x=1时，p (1，3)，此时，sin =，tan =3。当x=-1，p (-1，3)时，此时，sin =，tan =-3。反思与理解(1)通过已知角端边上任意点的坐标来求三角函数值的方法；(1)首先利用直线与单位圆的交点得到交点坐标，然后利用正弦函数和余弦函数的定义得到相应的三角函数值。如果你在的最后一条边上选择一个点P(x，y)，并让距离(2)当角最终边上的点坐标以参数形式给出时，应根据问题的实际情况对参数进行分类和讨论。跟踪训练1的已知角

6、度的末端边缘通过点p (-3a，4a)(a0)，并找到2sin +cos 的值。R=5 | a |。(1)如果a0，r=5a，角度在第二象限，sin =，cos =-，2sin +cos =-=1。如果a0，r=-5a，角度在第四象限，sin =-，cos =，2sin +cos =-+=-1。总而言之，2sin cos=1。命题角2求角的端边所在直线的三角函数值例2:假设角的终端边缘在直线y=-3x上，计算10sin +的值。根据问题的意思，cos 0。让角的端边上的任意点为P(k，-3k) (k 0)，然后x=k，y=-3k，r=|k|。(1)当k0，r=k，是第四象限角时，sin =-，

7、=，10sin +=10+3=-3+3=0。(2)当k0，r=-k，是第二象限角时，sin =，=-，10sin +=10+3(-)=3-3=0。总而言之，10分钟=0。思考和理解当解决一个角的最终边在一条直线上的问题时，我们应该注意一个事实，一个角的最终边是一条光线，所以我们应该分两种情况来处理。如果我们取射线上不同于原点的任何点的坐标(a，b)，相应角度的三角函数是sin =，cos =，tan =。跟踪训练2知道角度的末端边缘在直线y=x上，并且获得sin 、cos 和tan 的值。角度的最终边缘在直线y=x上，因此，假设P(a，a)(a0)是角的最终边上的任意点，然后r=2 | a |

8、 (a 0)。如果a0，是第一象限角，r=2a。所以sin =，cos =，tan =。如果a0，是第三象限角，r=-2a。所以sin =-，cos =-=-，tan =。第二类三角函数值符号的判定例3 (1)如果是第二象限角，点P(sin ，cos )在()中A.第一象限C.第三象限答案D分析表明，是第二象限角， sin 0，cos 0，点p在第四象限，所以选择d .(2)确定下列三角函数的符号。sin 182；cos(-43)；棕褐色。解* 182是第三象限角，sin 182是负数，符号是“-”。-43为第四象限角， cos (-43)是正数，符号是 。是第四象限角，tan是否定的，符号是

9、“-”。角度的三角函数值的符号是由角度的端边的位置决定的。解决这个问题的关键是准确确定角的端边所在的象限。同时，记住每个象限中每个三角函数值的符号，并记住以下公式：一个全正，两个正弦，三个正切和四个余弦。跟踪训练3 (1)如果点P(tan ，cos )在第三象限，那么是第四象限。回答2分析tan 0，cos 0， 是第二象限角。(2)确定以下符号。sin 145 cos(-210)；sin 3cos 4tan 5。解145是第二象限角， sin 145 0。-210=-360 150，-210是第二象限角。cos(-210)0,sin 145 cos(-210)0。3 4 5 2，sin 30

10、，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50。三型诱导一级方程式的应用示例4找到以下值。(1)sin(-1 395)cos 1 110+cos(-1 020)sin 750；(2)sin+costan 4。(1)原始公式=sin(-4360 45)cos(3360 30)cos(-3360 60)sin(2360 30)=sin 45 cos 30 cos 60 sin 30=。(2)原始公式=sin costan (4 0)=sin cos0=。内省与感悟利用归纳法公式一，可以将负角的三角函数转化为0-2之间的三角函数，大于2的角的三角函数也可以转化为0-2之间的三角函数，

11、即实现“负正，大小”。后续培训4寻求以下价值。(1)cos+tan；(2)sin 810+tan 765-cos 360。解(1)原始公式=cos tan=cos+tan=+1=。(2)原始公式=sin(90 2360)tan(45 2360)-cos 360=sin 90 tan 45-1=1 1-1=1。1.已知角的终端边缘穿过点(-4，3)，cos 等于()A.B.C.- D.-答案D分析表明x=-4，y=3，r=5，因此，cos =-。所以选择d .2.cos (-)等于()A.B.-C.d .答案三解析cos (-)=cos (-2 )=cos=。3.如果点P(3，y)是角度的最终边

12、缘上的点，并且y0和cos =，那么tan 等于()A.- B。C.d .答案D解析cos=，=5,y2=16，y0,y=-4,tan =-。4.当是第二象限角时，-的值是()A.1 B.0c . 2d-2答案三分析上，是第二象限角，sin 0，cos 0。-=-=2.5.众所周知，在角的端边上有一个点P(24k，7k)，k0，所以求sin ，cos 和tan 的值。当k0被求解时，让x=24k，y=7k。有r=25k，sin =，cos =，tan =。对于k0，如果x=24k，y=7k，则r=-25k。sin =-，cos =-，tan =。1.正弦、余弦和正切是以角度为自变量，以单位圆上

13、点的坐标或比值为函数值的函数。2.角度的三角函数值的符号只与角度所在的象限有关。如果确定了角所在的象限，就必须确定三角函数值的符号，其规律是“一个全正，两个正弦，三个正切，四个余弦”。3.具有相同端边的三角函数必须具有相同的值，但是两个角中的一个具有相同的函数值，因此角的端边不一定相同，更不用说两个角了。课堂作业首先，选择题1.sin (-1 380)的值是()A.- B。C.- D。答案D解析sin (-1 380)=sin (-3 604 60)=sin 60=。2.如果已知是第二象限角，P(x)是其终端边缘上的点，并且cos =x，那么x的值是()A.B.C.- D.-答案Dcos=x的

14、分析， x=0或2(x2=5)=16， x=0或x2=3，x=0(是第二象限角，截断)或x=(截断)或x=-。因此，d .3.如果sin 0已知，tan 0已知，则为()A.第一象限角b .第二象限角C.第三象限角d .第四象限角答案D4.如果角的终端边上的点的坐标是已知的，角的最小正值是()A.B.C.D.答案D解析sin=，cos=-。角度的最终边缘在第四象限，tan=-，角度的最小正值为2-=。5.众所周知，角的端边通过点P (3，4t)，sin (2k )=-(k z)，那么t等于()A.- B。C.d .回答一解析sin (2k )=sin=-0，则的最终边缘在第三或第四象限。点P的

15、横坐标是正的，所以是第四象限角，所以t 0。Sin=，然后=-，所以t=-。6.从(1，0)开始，某一点沿单位圆X2 Y2=1逆时针移动，到达Q点，则Q点的坐标为()A.B.C.D.回答一分析了三角函数定义q，cos=-，sin=。7.如果点P (sin cos ，sin cos )位于第二象限，则角度的最终边缘位于()A.第一象限C.第三象限答案三分析表明，sin cos 0。 是第三象限角。8.如果角度的最终边缘在直线Y=-2x上，那么sin 等于()A.B.C.D.答案三第二，填空9.tan 405-sin 450+cos 750=。回答tan 405-sin 450 cos 750=tan(360 45)-sin(360 90)cos(720 30)=tan 45-sin 90 cos 30=1-1=。10.使lg(cos tan )有意义的角度是第四个四分之一角。回答一两个问题为了使原始公式有意义，需要cos tan 0。也就是说，cos 和tan 具有相同的数。所以是第一或第二象限角。11.如果角的端边与直线y=3x重合，sin 0，P(m，n)是的端边上的一个点，并且| op |=，那么m-n=。回答2解析y=3x和sin 0，点P(m，n)位于第