2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4

1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点)2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(易错点)基础初探教材整理1两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，Rcos 75cos 15sin 75

2、sin 15的值等于_.【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理2两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题.1.公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R2.重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在，R，使得

3、sin()sin sin 成立.()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立.()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()【解析】(1).根据公式的推导过程可得.(2).当45，0时，sin()sin sin .(3).当30，30时，sin()sin sin 成立.(4).因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题.名称简记符

4、号公式使用条件两角和的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1两角差的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立.()(2)对任意，R，tan()都成立.()(3)tan()等价于tan tan tan()(1tan tan ).()【解析】(1).当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立.(2).两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ).(3).当k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子.【答案】(1)(2)(

5、3)小组合作型灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)()A. B. C. D.(2)化简求值：；sin(75)cos(45)cos(15)；tan 20tan 40tan 20tan 40.【精彩点拨】(1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.【自主解答】(1)sin 30.【答案】C(2)原式tan(4575)tan 120.原式.设15，则原式sin(60)cos(30)cos cos 0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.原式.1.公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan t

6、an ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan().三者知二可表示出或求出第三个.2.化简过程中注意“1”与“tan ”，“”与“tan ”，“”与“cos ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.再练一题1.化简求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3).【解】(1)原式cos(6116)cos 45.(2)原式sin(1317)sin 30.(3)原式.给值求值已知，0，cos，sin，求sin()的值. 【导学号：】【精彩点拨】可先考虑拆角，然后再利用sin()sin()求值.【自主解答

7、】因为，所以，所以sin.又因为0，所以cos，所以sin()sin()sin.1.本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用()这一关系.2.常见角的变换为(1)2()，2()；(2)，；(3)()；(4)().再练一题2.已知cos ，tan ，求cos().【解】因为，cos ，所以sin .因为，tan ，所以cos ，sin .所以cos()cos cos sin sin .给值求角已知sin ，sin ，且，为锐角，求的值.【精彩点拨】【自主解答】sin ，为锐角，cos .又sin ，为锐角，cos .cos()cos co

8、s sin sin .又，0，因此.1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解.2.求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.再练一题3.已知，且cos()，sin ，试求角的大小.【解】，(0，)，由cos()，知sin().由sin ，知cos .sin sin()sin()cos cos()sin .又，.探究共研型辅助角公式的应用探究1能否将函数ysin xcos x(xR)化为yAsin(x)的形式？【提示】sin xcos xsin.探究2函数f(x)si

9、n xcos x(xR)的最大值是多少？【提示】f(x)sin xcos x22sin，f(x)的最大值为2.探究3如何推导asin xbcos xsin(x)公式.【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定).求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值.【精彩点拨】先将f(x)化为asin(x20)bcos(x20)形式，再利用辅助角公式化为sin(x)的形式，即可求得f(x)的最大值.【自主解答】

10、f(x)3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x20)7sin(x20)，其中cos ，sin ，所以f(x)max7.1.对于形如sin cos ，sin cos 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.再练一题4.函数f(x)sin xcos的值域为()A.2,2 B.C.1,1 D.【解析】f(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，.故选B.【答案】B1.化简：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A. B. C. D.【解析】原式sin(2181)sin 60.故选D.【答案】D2.已知是锐角，sin ，则cos等于()【导学号：】A. B. C. D.【解析】因为是锐角，sin ，所以cos ，所以cos.故选B.【答案】B3.函数f(x)sin xco