2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

1、3.1.3空间向量的数量积运算1.掌握空间矢量的角度和长度的概念。2.了解空间矢量数量积的定义、性质、运算方法和计算方法。(重点)3.用向量的数量积可以解决立体几何问题。(困难)基础初探教材整理一空间矢量的角度阅读教材P90第1 3自然段内容，完成以下问题。1.夹角的定义图3114如果你知道两个非0牙齿的矢量A，B，在空间中取一点O，那么=A，=B，A，=B，A，B的角度称为 A，B 。2.夹角的范围空间中两个向量的角度的范围为0，。特别是=0时，两个向量共线。=_ _ _ _ _ _ _ _ _ A，b=时，两个向量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2、_ _ _垂直ab判断(准确地说是“”，错误的“”)(1) 和(a，b)都表示正交坐标系下的点。（）(2)在ABC中=B .()(3)在正方形ABCDABCD 上，与的角度为45 .（）回答(1)(2)(3)教材整理2空间向量的数量及其性质。阅读教材P90第4自然团“思考”以上内容，完成以下问题。1.如果您知道两个非零牙齿矢量a、b，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _回答 | a | | b | cos a，b ab0 0 0空间矢量数量积满足以下算法：(1)(a)b=(ab)；(2)

3、交换法：ab=ba(3)分配方法：a (b c)=_ _ _ _ _ _ _ _。回答 a b AC3.空间矢量数量积的特性：两个向量数量积的性质如果a，b是非零牙齿矢量，则aBab=0如果a与b方向相同，则ab=| a | | b |反之，ab=-| a | | b |。特殊：aa=| a | 2或| a |=。如果为a，b的角度，则cos| ab | | a | | b |在以下方程式中，正确的是()A.| a | a=a2 B. (ab) 2=a2 B2C.a (ab)=ba2d。| ab | | a | | b |分析可见数量滴定的，A，B，C都不准确。因此选择D。回答 d组合作空间矢

4、量数量积的运算如图3115所示，在边缘1的四面体ABCD中，E，F分别评估为AB，AD的中点。图3115(1)；(2)；(3)。精彩的电话第(1)，(2)利用两个茄子问题=解决转换；(3)利用问题=-转换解决方案。自主回答 (1)=| |=| | | | cos =cos60=。(2)=| | 2=。(3)=(-)=-=| | | cos -| | cos =cos60-cos60=0。从几何图形中取得空间向量数量乘积的步骤(1)首先将每个矢量分解为已知模和包含角的矢量的组合。(2)利用矢量的计算方法展开数量积，将其转换为已知模和夹角的矢量的数量积。(3)根据向量的方向，准确地求出向量的角度和

5、向量的强度。(4)替代公式ab=| a | | b | cos 解决方案。再练习一个问题1.已知空间四边形ABCD的每个边和对角线的长度为a，点e，f分别为BC，AD的中点=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析=a2cos60=a2。回答 a2利用数量积证明空间的垂直关系在已知空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC，OA=ob=oc，m，n分别是OA，BC的中点，g是MN的中点。确认：og精彩的电话 (1)你可以用，分别表示矢量和吗？(2)用向量证明的方法？自主解答连接ON，设置AOB=BOC=AOC=，另一设置=a，=b，=c，然后| a |=| b |=| c |。另外=()

6、=(a b c)，=c-B=(a b c)(c-b)=(AC-a b BC-B2 C2-BC)=(| a | 2 cos-| a | 2 cos-| a | 2 | a | 2)=0。，即ogBC。用矢量方法证明垂直关系的步骤(1)将几何问题转化为向量问题。(2)被证明的向量用已知向量表示。(3)数量乘公式和运算法则相结合，证明数量乘为零。(4)将矢量问题返回到几何问题。再练习一个问题2.在图3116中，已知立方体ABCDABCD 、CD 和DC 通过交叉点O和连接AO进行认证。图3116(1)ao CD ；(2)AC 平面BCD 。证明 (1)=()、因为=-，因此=(2) (-)=(- -

7、 2-2)=(| | 2-| | 2)=0，因此aoCD 。(2)，因为=()()=已知=0，=0，=0，=| | 2，=-| | 2，=0，所以=| | 2-| | 2=0，所以AC b c同样，可以证明AC b d 。BC，b d 平面BCD ，B cB d =B ，因此AC 利用数量积求夹角如图3117所示，从立方体ABCDA1B1C1D1中获取1和夹角的大小。图3117漂亮的拨号 (1)如何使用矢量，1等于矢量1？(2)求两个向量的夹角公式是什么？您可以将自主回答正方形的角落设定为1。1=(1)()=(1)()=2 1 1=0 2 0 0=2=1，此外，| 1 |=，| |=，cos

8、=。0 180，=60。1和夹角的大小为60。1.向量的夹角范围为0，二面角的角度范围为0，因此，使用向量量求二面角的角度时，要注意角度之间的关系。当“A，B”时，它们是一样的。当的时候，它们是互补的。2.使用数量积获取双线形成的角theta的馀弦的步骤：(1)取向量(2)寻找向量角度馀弦cos ；(3)结果cos =| cos |。再练习一个问题如图3118所示，在直三角棱镜ABCABC 中，AC=BC=aa ， ACB=90，d，e分别是AB，BB 的中点。图3118(1)确认：cead；(2)求出双面线CE和AC 形成的角度的馀弦。解释 (1)证明：设置=a，=b，=c，根据问题的含义，

9、| a |=| b |=| c |和ab=BC=ca=0。=b c，=-c b-a .=-C2 B2=0，即cead。(2)=-a c，| |=| a |，| |=| a |，=(-a c)=C2=| a | 2，cos =。异种线CE和AC 角度的馀弦为：共同研究型探索利用数量求距离1查看已知的A(1，2，1)、B(2，0，2)，并求出| |的值。提示=(1，-2，1)，| | |=。探讨两点之间的距离或善意长度的求法。使用“提示”矢量的数量计算两点之间的距离，可以转换为求矢量的模块。基本想法是先选择以两点为终点的矢量，将牙齿矢量显示为多个已知矢量的总和，求出两个已知矢量的夹角及其强度，然后

10、用公式| A | 2=AA求解。在平行四边形ABCD中，AB=2AC=2和aCD=90沿对角AC折叠，以使AB和CD成60度角找到点b，d之间的距离。图3119漂亮的拨号 (1)可以获得已知的AC和CD，AC与AB垂直吗？(2)当AB和CD成60角时，你能造出什么方程式？可以直接获取吗| |？自主解答已知的AC CD、AC AB，折叠后AB和CD的角度为60。所以=0，=0，并且=60或120。| | 2=()2=2 2 2 2=22 12 22 222 cos ，因此| | 2=13或5理解| |=或，也就是说，b、d之间的距离为或。1.利用空间矢量的数量积与空间矢量模的关系，经常将空间两点

11、距离问题转化为空间矢量模的大小问题进行计算。2.使用数量计算两点之间距离的步骤：(1)将牙齿距离显示为矢量。(2)牙齿矢量显示为其他矢量。(3)公式aa=| a | 2，查找| a |；(4)|a|是所需的距离。再练习一个问题4.如图3120所示，空间四边形OABC中的OA，OB，OC 20% 60角，OA=OB=OC=2，E是OA的中点，F是BC的中点。尝试e，F之间的距离。图3120解决方案=()=(-) (-)=-，所以=2 2 2 2=2。| |=，即e，f之间的距离。1.如果已知E1，E2是单位矢量，E1-E2是a=2e1 3e2，b=ke1-4e2，a-b，则实数k的值为()A.-

12、6b.6C.3d-3分析可以从问题中获得ab=0，e1e2=0。| E1 |=| E2 |=1，(2 E1 3e 2)(密钥1-4e2)=0，2k-12=0，k=6。回答 b2.空间四边形OABC中，如果ob=oc，AOB=AOC=，则cos 的值为()A.b.c.-d.0分析=(-)=-| | | cos | AOC-| | cos | AOB=| | | | | | | | | | | o |=，cos =0。回答 d3.在空间四边形ABCD中=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。语法分析基本=(-)=(-)()=0。回答 04.图3121，三角棱镜ABCA1B1C1中的m，n分别是A1B，B1C1中的点，BM=2a1m，C1N=2