苏科版数学七年级下册 第12章 定义 命题 证明·基础卷 同步练习 含答案

2025-2026学年七年级下册数学单元自测第十二章定义命题证明·基础通关建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等2．下列语句中，是命题的是（

）A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等3．下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．内错角相等C．等角的补角相等 D．若直线，则4．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（

）甲同学：“该命题是真命题．”乙同学：“该命题的结论是．”丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．”A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角6．下列可以作为说明命题“若，则”为假命题的反例的是（

）A．， B．， C．， D．，7．下列命题中，判断错误的是（

）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．假命题的逆命题不一定是假命题D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．“等角的余角相等”是（

）A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题10．用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（

）A．都不为0 B．只有一个为0C．至少有一个为0 D．都为0二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”）12．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________．13．命题“如果，那么”是________命题．14．对于命题“若，则．”能说明它是假命题的反例是假设________．（答案不唯一）15．命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题．16．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．17．用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，应先假设_______．18．如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号）三、解答题（共7小题，共66分）19．（本题8分）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题．（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？（2）垂线段最短，对吗？（3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（4）同旁内角互补．20．（本题6分）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等．21．（本题10分）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下：已知：如图，在同一平面内直线a⊥b，①_____．求证：②_____证明：∵a⊥b（已知），∴③_____（④_____∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____），∴⑧_____（等式的基本事实），∴⑨_____（⑩_____）．请把小明的说明过程补充完整．22．（本题10分）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：试按照以上步骤证明：对顶角相等．23．（本题12分）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．已知：________，________．求证：________．证明：24．（本题8分）补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，解：∵EF⊥BC，AD∴（垂直的定义），∴（____________）．∴（____________）．∵（已知），∴____________（等量代换）．∴（____________）．25．（本题12分）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），，（已证）．（不等式的传递性）(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；证明：且，均为正数，（已知）不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）．（不等式的传递性）(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．

2025-2026学年七年级下册数学单元自测第十二章定义命题证明·基础通关建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等【答案】C【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可．【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，所以都不是定义，只有是定义．故选：C．2．下列语句中，是命题的是（

）A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等【答案】D【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题．【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题．B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题．C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题．D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题．3．下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．内错角相等C．等角的补角相等 D．若直线，则【答案】C【分析】根据相关数学定义，性质逐一判断各选项即可.【详解】解：∵时，可得或，例如满足但，∴A是假命题，不符合题意；∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件，∴B是假命题，不符合题意；设两个相等的角为，它们的补角分别为和，∵，∴，即等角的补角相等，∴C是真命题，符合题意；∵命题未说明在同一平面内，不在同一平面时，直线得不到，∴D是假命题，不符合题意．4．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（

）甲同学：“该命题是真命题．”乙同学：“该命题的结论是．”丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．”A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案．【详解】解：∵当，时，满足，但，∴原命题是假命题，甲同学判断错误．“若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为，∴乙同学判断正确．添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”，∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等，∴该命题是真命题，丙同学判断正确．综上，正确的判断共有个．5．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角【答案】D【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角”写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．故选：D．6．下列可以作为说明命题“若，则”为假命题的反例的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．据此逐项判断即可．【详解】解：当时，，，，∴，但是，∴，是原命题的反例，故选项A符合题意；而选项B、C中都是，故不符合题意；当时，，，，∴，，∴，不是假命题的反例，故选项D不符合题意，故选：A．7．下列命题中，判断错误的是（

）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．假命题的逆命题不一定是假命题D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行【答案】B【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假．【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确；选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误；选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确．选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确．因此，判断错误的是选项B．故选：B．8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答．【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题，∴①正确；∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题，∴②正确；∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实，∴③错误；∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理，∴④错误；综上，正确的说法有2个．9．“等角的余角相等”是（

）A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题【答案】C【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可．【详解】解：设，则的余角为：，的余角为，∵，∴，即等角的余角相等，∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理，故选：C．10．用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（

）A．都不为0 B．只有一个为0C．至少有一个为0 D．都为0【答案】A【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤；反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况．在这个问题中，结论是“a，b中至少有一个为0”，其反面就是“a，b都不为0”．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”）【答案】不是【分析】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键．根据命题的定义判断即可．【详解】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题．故答案为：不是12．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【分析】先拆分命题“对顶角相等”的条件与结论，再按照要求改写成“如果…那么…”的形式即可．【详解】解：命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，因此改写成“如果…那么…”的形式可得：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．13．命题“如果，那么”是________命题．【答案】假【分析】判断命题真假时，若能找到满足命题题设但不满足命题结论的反例，即可判定该命题为假命题．【详解】解:举反例验证如下：令，，此时满足条件，计算得，，可得，不满足，因此原命题是假命题．14．对于命题“若，则．”能说明它是假命题的反例是假设________．（答案不唯一）【答案】（答案不唯一，任意非零负数均可）【分析】根据命题反例的定义，找出满足条件但不满足结论的的值即可．【详解】解：根据反例的要求，需满足且，取，此时，满足题设，而，不满足结论，可以作为该假命题的反例，15．命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题．【答案】假【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键；逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可．【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题．故答案为：假．16．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．【答案】互逆命题逆命题【解析】略17．用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，应先假设_______．【答案】一个三角形中至少有两个钝角【分析】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．【详解】解：用反证法证明“一个三角形中最多有一个钝角”，可以先假设一个三角形中至少有两个钝角，故答案为：一个三角形中至少有两个钝角．18．如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号）【答案】②④【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，由可推出和，进而利用等式的性质判断结论④，对于结论①和③，需要或四边形为平行四边形才能成立，题设条件不足．【详解】解：∵，∴，故结论②是真命题，∵，∴，∴，即，故结论④是真命题；与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题；综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④．三、解答题（共7小题，共66分）19．（本题8分）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题．（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？（2）垂线段最短，对吗？（3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（4）同旁内角互补．【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论．【详解】解：（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题；（2）垂线段最短，对吗？不是命题；（3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题（4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题；20．（本题6分）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等．【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题(2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题(3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题．（1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题；（2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题；（3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题．【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题；（2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题；（3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题．21．（本题10分）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下：已知：如图，在同一平面内直线，①_____．求证：②_____．证明：∵（已知），∴③_____（④_____）．∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____），∴⑧_____（等式的基本事实），∴⑨_____（⑩_____）．请把小明的说明过程补充完整．【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据a⊥b得到，再由，得到，即可证明．【详解】已知：如图，在同一平面内直线a⊥b，①．求证：②．证明：∵a⊥b（已知），∴③（④垂直的定义）．∵⑤（已知），∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等），∴⑧（等式的基本事实），∴⑨（⑩垂直的定义）．22．（本题10分）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：试按照以上步骤证明：对顶角相等．【答案】见解析【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可．【详解】已知：如图，直线AB与相交于点，求证：．证明：∵直线AB与相交于点，∴，∴，∴．23．（本题12分）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．已知：________，________．求证：________．证明：【答案】见解析【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．【详解】解：（答案不唯一）已知：，，求证：．证明：，（两直线平行，内错角相等）．，（两直线平行，同位角相等），．已知：，，求证：．证明：，（两直线平行，内错角相等）．，（等量代换），（同位角相等，两直线平行）．已知：，，求证：．证明：，（两直线平行，同位角相等）．，（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．24．（本题8分）补全下列推理过程：如图，，，，试说