2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1

1、3.1.5空间矢量运算的坐标表示1.了解空间矢量长度公式、角度公式和空间两点间的距离公式。(键)2.掌握空间矢量运算的坐标表示，用矢量的坐标运算解决简单几何中的问题。基础探索教科书整理1空间向量运算的坐标表示阅读教材P95，完成下列问题。设A=(A1，a2，a3)，B=(B1，b2，b3)，空间矢量的坐标算法如下表所示：操作坐标表示添加a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)减法a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)数字乘法a=(a1，a2，a3)，R数量产品ab=a1b1+a2b2+a3b3假设向量a=(3，-2，1)和b=(-2，4，0)，4a 2b等于()A.(16，0，4

2、) B.(8，-16，4)C.(8，16，4)d(8，0，4)分辨率 4a=(12，-8，4)，2b=(-4，8，0)，4a+2b=(8,0,4).答案 D教科书整理2空间向量的平行、垂直、模数和夹角公式的坐标表示阅读教材P95“从底部到第6行的第10行”，完成下列问题。如果A=(A1，a2，a3)和B=(B1，b2，b3)，那么平行(ab)ab(b0)a=b垂直(ab)aBab=0a1 B1 a2 B2 a3 B3=0(a和b都是非零矢量)模式|a|=夹角公式cosa，b=假设向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，ka b和2a-b相互垂直，k=()公元前1世纪分辨率 ka b=(k

3、-1，k，2)，2a-b=(3，2，-2)和(ka b) (2a-b)=3 (k-1) 2k-4=0，解为k=。答案 D空间两点间距离公式的教科书整理3阅读教科书P95“从底部第五行以下”，完成下列问题。在空间直角坐标系中，让A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，然后(1)=_ _ _ _ _ _ _ _；(2)dAB=|=_。回答 (1) (A2-A1，B2-B1，C2-C1)(2)如果点A(0，1，2)和点B(1，0，1)，那么=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (1，-1，-1)小组合作类型空间向量的坐标运算假设空间中的四个点a、

4、b、c和d的坐标分别为(-1，2，1)，(1，3，4)，(0，-1，4)，(2，-1，-2)，如果p=，q=，则得出以下值：(1)p+2q；(2)3p-q；(3)(p-q)(p+q)；(4)cosp，q。TutorialNo。【亮点】(1)知道了两点的坐标，如何表达由这两点组成的矢量的坐标？(2)向量加法、减法、乘法和数量乘积的坐标运算规则是什么？自治解因为a (-1，2，1)，B(1，3，4)，c (0，1，4)，d (2，1，2)，p=(2，1，3)，q=(2，0，0)(1)p+2q=(2，1，3)+2(2，0，-6)=(2，1，3)+(4，0，-12)=(6，1，-9)。(2)3p-q=

5、3(2，1，3)-(2，0，-6)=(6，3，9)-(2，0，-6)=(4，3，15)。(3)(p-q)(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-22+02+(-6)2=-26。(4)cosp，q=-。1.向量的坐标等于代表向量的有向线段的结束坐标减去开始坐标。2.在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加、减、乘、量积的坐标计算公式就足够了，但应熟练运用以下乘法公式：(1)(A B)2=A2 2AB B2；(2)(a+b)(a-b)=a2-b2。再练习一个问题1.众所周知，a=(2，-1，-2)，b=(0，-1，4)。(1)a+b；(2)a-b；(3)ab；(4)2a(-

6、b)；(5)(a+b)(a-b)。(1)甲乙=(2，-1，-2) (0，-1，4)=(2+0，-1-1，-2+4)=(2，-2，2)。(2)a-b=(2，-1，-2)-(0，-1，4)=(2-0，-1-(-1)，-2-4)=2，0，-6。(3)ab=(2，-1，-2)(0，-1，4)=20+(-1)(-1)+(-2)4=-7。(4)2a=(4，-2，-4)，(2a)(-b)=(4,-2,-4)(0,1,-4)=40+(-2)1+(-4)(-4)=14。(5)(a+b)(a-b)=a2-B2=4+1+4-(0+1+16)=-8。用向量的坐标运算解决平行和垂直问题有三个点a (-2，0，2)，b

7、(-1，1，2)，C (-3，0，4)。让a=，b=。(1)如果| c |c|=3，c，求c；(2)如果ka b和ka-2b相互垂直，找到k .【妙指】(1)根据C，让C=，那么向量C的坐标可以用表示，然后用| C |c|=3求出值；(2) ka b和ka-2b用坐标表示，然后根据数积为0求解。自治解(1)=(-2，-1，2)和c，让c=(-2，-，2)(R)。|c|=3|=3.解是=1。 c=(-2，-1，2)或c=(2，1，-2)。(2)a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).(ka+b)(ka-2b)，(ka+b)(ka-

8、2b)=0，也就是说，(k-1，k，2) (k 2，k，-4)=2k2 k-10=0，解是k=2或k=-。矢量平行度和垂直度问题主要有两种类型：(1)平行度和垂直度的判断；(2)利用平行度和垂直度来寻找参数或解决其他问题，即平行度和垂直度的应用。解题时应注意：(1)适当引入参数(如向量A和B平行，A= B可设定)，建立参数方程；(2)最好选择坐标形式，以简化计算。再练习一个问题2.众所周知，A=( 1，1，2)和B=(6，2m-1，2)。(1)如果ab，分别求出和m的值；(2)如果| a |=并且垂直于c=(2，-2，-)，找到a .TutorialNo。解决方案 (1)从ab、(+1，1，2

9、)=k(6，2m-1，2)，解决方案实数=，m=3。(2)| a |=，和ac、简化并得到解=-1。因此，a=(0，1，-2)。调查研究类型用矢量的坐标运算求夹角和距离探索利用空间矢量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？【提示】(1)建立：根据题目中的几何图形建立合适的空间直角坐标系；(2)寻找坐标：(1)寻找相关点的坐标；(2)写出向量的坐标；(3)论证计算：论证计算与公式相结合；(4)变换：变换成几何结论。探索2个已知的A(2，1，-3)，B(1，-2，4)，找到与向量共线的单位向量。提示=(-1，-3，7)，| |=，的单位矢量是或者。在边长为1的立方体ABCDA1B1C1D1中，e和

10、f分别是D1D和BD的中点，g在边CD上，CG=CD，h是C1G的中点。空间向量用于解决以下问题：(1)求EF和B1C形成的角度；(2)求EF和C1G形成的夹角的余弦；(3)找出F点和H点之间的距离。美妙的灵感 自治解如图所示，以DA、DC和DD1为正交基建立空间直角坐标系Dxyz。然后D(0，0，0)，e，f，C(0，1，0)，C1 (0，1，1)，B1(1，1，1)，g .(1)=，=(-1，0，-1)，=(-1,0,-1)=(-1)+0+(-1)=0. ，也就是EFB1C.ef和B1C之间的角度为90度。(2)因为=。然后| |=。和| |=，和=，cos,=，也就是说，由EF和C1G形

11、成的角度的余弦是。(3)h是h c1g的中点。f。FH=|=。空间向量的数量积被广泛使用，其主要用途有：(1)求向量的模| a |=；(2)要找到角度，请使用公式cos =；(3)证明了垂直ab=0a B .再练习一个问题3.如图3132所示，SA飞机ABC，ABBC，SA=AB=BC。图3132(1)求出不同平面上直线SC和AB所成角度的余弦；(2)用空间矢量法证明BC平面ABS。以点a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。假设sa=ab=BC=a，然后是b，C(0，a，0)，S(0，0，a)。(1)=，=(0，a，-a)。因为，因此，SC和AB之间的夹角的余弦为。(2)证明：因为=，=(0，0，a)，=，显然，=0，=0。即ABBC、ASBC和abas=a，因此，BC飞机ABS。1.假设向量a=(1，1，0)和b=(-1，0，2)，| 3a b |是()A.B.4C.5D .分辨率 3a b=3 (1，1，0) (-1，0，2)=(3，3，0) (-1，0，2)=(2，3，2)，因此| 3a b |=。答案 D2.如果点A(n，n-1，2n)，B(1，-n，n)，那么| |的最小值是()A.BC.2D不存在分辨率=(1-n，1-2n，-n)，|2=(1-n)2+(1-2n)2+n2=62+，当n=时，|的最小值为。回答乙3.众所周知，