证明与命题的期末复习[下学期] 浙教版.ppt

1、命题与证明复习,本章主要内容有,定义、命题、证明、反例和反证法,1、能清楚地规定某一名称或术语的 的句子叫做定义,知识回顾,2、对某一件事作出 的句子叫做命题；,叫做真命题， 叫做假命题,数学中通常挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些公认为正确的命题叫做 .,用推理的方法判断为正确，并且可以作为判断其他命题真假依据的真命题叫做定理,要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个 .,要说明一个命题是真命题，常用 方法,3、要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，依据已知的定义、定理、公理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明.,意义,正确或

2、不正确判断,正确的命题,不正确的命题,反例,推理,公理,例1 下列语句中哪些是命题？请判断其中命题的真假，并说明理由。,（1）每单位面积所受到的压力叫做压强；,（2）两个奇数的和是偶数。,（3）两个无理数的乘积一定是无理数；,（4）偶数一定是合数吗？,（5）连结AB；,（6）不相等的两个角不可能是对顶角,对于命题“不相等的两个角不可能是对顶角”,条件：,结论：,改写成“如果，那么”的形式：,两个角不相等,这两个角不可能是对顶角,如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角,1、将下列命题改写成“如果那么”的形式，然后指出这个命题的题设和结论。,（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相

3、等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行,情景引入,证明命题的一般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路;,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,例1、证明：等腰三角形两底角的平分线相等。 已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的角平分线。 求证：BD=CE.,证明：AB=AC， ABC= ACB(等边对等角). 1= ABC，2= ACB， 1=2. 在BDC和CEB中， ACB=ABC，BC=CB，1

4、=2， BDCCEB（ASA）. BD=CE(全等三角形的对应边相等).,思维拓展：,1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求 A+ B+ C+ D+ E的度数。 （2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？,2、如图，O是ABC的ABC与ACB的平分线的交点，DEBC交AB于点D，交AC于点E.若AB=10cm，AC=8cm，则ADE的周长是_cm.,例2 等腰三角形的底角为15,腰长为2a，求腰上的高。 如图，在ABC中，已知AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高，求CD的长. 解： ABC=ACB=15， DAC=

5、ABC +ACB=15+15=30. CD= AC= 2a=a(在直角三角形中， 如果一个锐角等于30，那么他所对的直角边等与斜边的一半).,例3、 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证： BDC=BAC+B+C,证法一： 在ABD中, 1180B3 （三角形内角和定理） 在ADC中, 2180C4 （三角形内角和定理） 又BDC36012（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） （等量代换） B+C+3+4. 又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）,例. 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证： BDC=BAC+B+C,证法二：

6、,例3 已知：如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC.AE是BC边上的中线，过C作CFAE于F，过B作BDBC，交CF的延长线于点D.,A,B,C,D,E,F,求证：AE=CD,证明：,ACB=90，CFAE,EAC+ACF=90，DCB+ACF=90,EAC=DCB,BDBC DBC =90=ACB,又AC=BC,AE=CD,说明：在三角形中，有多个垂直关系时，常利用“同角（或等角）的余角相等”来证明两个角相等，从而证明三角形全等.,例4 已知：如图，已知AD是ABD 和ACD 的公共边 求证：BDC=BAC+B+C,A,B,C,D,例4、 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证

7、： BDC=BAC+B+C,证法一： 在ABD中, 1180B3 （三角形内角和定理） 在ADC中, 2180C4 （三角形内角和定理） 又BDC36012（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） B+C+3+4. 又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）,例4 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证： BDC=BAC+B+C,证法二：,A,B,C,D,1,2,3,4,例4、 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证： BDC=BAC+B+C,证法三：,延长AD,1=3+B，2=4+C,1+2=3+B+4+C,即BDC=BAC+B+C,

8、例5如图，四边形ABCD，ADBC，B+C=90点M、N分别是AD、BC的 中点，求证MN= （BC-AD）,练一练,1. 用反例证明下列命题是假命题： (1) 若x(1-x)=0，则x=0； (2) 三角形一边上的中线等于这条边的一半； (3) 相等的角是对顶角；,（4）若x3,则分式 有意义.,请用反例证明命题“相等的角是对顶角” 是假命题.,小结： 假命题的证明是利用反例来说明.反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论,从而说明命题错误. 说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子.,定义:,在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.,证明：在三角形中至少有一个角大于或等于60. 已知：ABC 求证：ABC中至少有一个角大于或等于60 证明：假设ABC的三个角都小于60，那么三角之和必小于180，这与“三角形三个内角和等于180” 相矛盾。因此，ABC中至少有一个角大于或等于60.,例3、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB EF