2018版高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性学案 北师大版必修1

1、2.3函数的单调性1 .理解函数的单调性概念及其几何意义2 .掌握在定义中证明函数单调性的步骤3 .求函数单调区间，理解函数单调性的简单应用基础初探教材整理1在函数区间追加(减少)定义读教材P36P37第二自然段结束，完成以下问题.在函数f(x )的定义域内的一个区间a中，对于任意两个数x1，x2A，在x1f(x2 )的情况下f(x )在区间a减少(减少)如图231所示，对于时间t的函数，气温标记为=f(t )，通过观察该函数的图像，能够明确气温在哪个时间段增加或减少图231在时间段 0，4 及 14，24 中，气温随着时间t而减少，在时间段 4，14 中，气温随着时间t而增加.教材整理2单调

2、区间单调性单调函数的概念阅读教材P37的第三自然段开始P38“函数f(x)=3x 2是r上的增函数”的相关内容，完成以下问题。1 .函数的单调区间如果y=f(x )在区间a内增加或减小，则a被称为单调区间，在单调区间内，如果函数增加，则该图像量上升。 如果函数减少，图像就会下降2 .函数的单调性如果函数y=f(x )在具有定义域的子定径套上递增或递减，则函数y=f(x )在该子定径套上具有单调性。3 .单调函数当函数y=f(x )在整个定义域上递增或递减时，我们分别将该函数称为增函数或减函数，总称为单调函数判断(正确的打“”、错误的打“”)(1)区间a中存在x1、x2，x1x2时，如果f(x1

3、)f(x2)存在，则f(x )在区间a中增加。(2)如果函数y=f(x )在区间a内减少，则在x1，x2A，并且f(x1)x2. ()(3)如果函数f(x)=区间(-，0 )，(0，)都减少的话，f(x )就成为关减函数。(1) (2) (3)教材整理3函数最大值最小值的概念阅读教材P38的第二自然段及左侧的思考P39的练习以上的内容，完成以下的问题1 .函数最大值的概念一般而言，对于函数y=f(x )，其关定义域字为d，并且如果x0D，f(x0)=M存在，那么对于任何x-d，如果f (x )-m都存在，那么我们可以通过2 .函数最小值的概念一般而言，对于函数y=f(x )，其关定义域字为d，

4、并且如果x0D，f(x0)=M存在，那么对于任何x-d，如果f (x )-m都存在，那么我们可以通过函数f(x )在-2，2 上的图像如图232所示，该函数最小值和最大值分别是()图232A.f(-2 )，0 b.0，2，2C.f(-2 )、2 D.f(2)和2【解析】从函数的最大、最小的概念可知，c是正确的【答案】c集团合作型在定义中判断或证明函数的单调性证明函数f(x)=x为(0，1 )且为减函数。【精彩点拨】(0，1 )任意取x1、x2且x1f(x2)即可。【试解】证明：设定为0x1x21时f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)=(x1-x2)=。0x1x21，x1x2-10、x1-

5、x20、f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)=x是(0，1 )时的减函数。在定义中确定或证明单调性的步骤： (1)定径套：在指定区间内任意对x1、x2、x1x2 .(2)进行差分变形：对f(x1)-f(x2 )进行修正，计算出因子分解、或再练习一次1 .在本例中，“函数f(x)=x”不变，讨论f(x )在(0，)上的单调性。【解】设定为0x1x2时f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)。在0x1x21的情况下，x1-x20，1-0，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)。因此，f(x)=x为(0，1 )，是减函数。在1x1x2的情况下，x1-x20，1-0，

6、f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)。因此，f(x)=x在(1，)上是增加函数。根据以上，函数f(x )在(0，1 )中为减函数，在(1，)中为增函数.用图像求函数的单调区间描绘函数y=-x2 2|x| 3的图像，指出函数的单调区间。【导学编号：】【哈伊利石】只要描绘函数的图像，就能够看到曲线在哪个区间上升，在哪个区间下降，能够确定函数单调的区间【试解】y=-x2 2|x| 3=函数图像如图所示。函数在(-1)和 0，1 中为增函数。函数在-1，0 和1，中是减函数。因此函数的单调增加区间为(-1)和 0，1 ，单调减少区间为-1，0 和1，)。利用函数图像来确定函数的单调区间的具

7、体方法是先将简单的函数解析式化，然后画出其草图，最后根据函数的定义域和草图的位置、状态来确定函数的单调区间再练习一次已知求出f(x)=|x2-x-12|、f(x )的单调区间。如图所示，如果制作函数的概略图并观察其图像，则函数f(x )的单调增加区间为和4，单调减少区间为(-)研究共研模型函数的最大值与单调性的关系探究1已知函数y=f(x )在定义域a，b中单调，如何求函数的最大值？如果函数y=f(x )在按定义域a，b单调增加，则f(x)max=f(b )，f(x)min=f(a )。 如果函数y=f(x )在关定义域字a，b处单调递减，则满足f(x)max=f(a )，f(x)min=f(

8、b )。研究2已知函数y=f(x )的定义域是，如果acb .函数f(x )在区间a，c，c，b中单调性相反，则函数在x-a，c的情况下，f(x )是一个单调递增函数。 在x-c，b时，f(x )是单调减法函数，f(x )在x=c时取最大值，相反，在x-a，c时，f(x )是x-c，b时，f(x )是单调递增函数，f(x )是x=c求出函数f(x)=区间 2，5 中的最大值和最小值。【精彩点拨】首先使用定义判定函数f(x)=区间 2，5 中的单调性。【试解】任意取x1，x2- 2，5 且x1x2，f(x1)=、f(x2)=、f(x2)-f(x1)=-=。2x1x 25，x1-x20、x1-10

9、。f(x2)-f(x1)0，f(x2)f(x1)。在f(x)=区间 2，5 中为减函数。对于任意的x- 2，5 有f(5)f(x)f(2)，f (x )最大值=f (2)=2，f (x )最小值=f (5)=。利用函数的单调性求最大值是解决函数的最大值问题的重要方法，特别是在不能很好地进行函数图像的情况下，单调性几乎成为优先的方法再练习一次3 .已知函数f(x)=-，x- 0，2 获得函数的最大值和最小值。将x1、x2设为区间 0，2 上的任意两个实数，并且在x1x2的情况下，设f(x1)-f(x2)=-=-=-。从0x10，(x1 1)(x2 1)0，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f

10、(x2)。因此，函数f(x)=-在区间 0，2 的左端点取最小值，在右端点取最大值，即最小值取f(0)=-1 .根据函数的图像，在定义域中递增函数是()【解析】增加函数的图像上升，d中的函数以定义域上升，所以是增加函数【回答】d2 .函数y=-x 1的区间中的最大值为()A.- B.-1 C. D.3由于函数y=-x 1在区间上减少，因此当x=时，函数取最大值ymax=- 1=。【答案】c3 .如果函数f(x )是-2，2 以上的递减函数，则f(-1)_f(2).(填写“”f(x )在-2，2 中为减函数，-12，f(-1)f(2)。【回答】 4 .函数f(x)=x2的单调递增区间为_，单调递减区间为_ _ _ _。图解从f(x)=x2的图像(省略图示)可知，单调增加区间为0，)，单调减少区间