2018版高中数学 第四章 函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在学案 北师大版必修1

1、4.11利用函数性质判定方程解的存在 1. 了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点) 2. 掌握函数零点存在的判定方法(重点) 3. 能结合图像求解零点问题(难点)基础初探教材整理函数零点及判定定理阅读教材P116P117整节的内容，完成下列问题函数的零点及判定定理(1)函数的零点：定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系(2)函数零点的判定定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相

2、应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解 1. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)零点即函数yf(x)的图像与x轴的交点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)有两个零点()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()【答案】(1)(2)(3) 2. 函数yx的零点是_【解析】令yx0，解得x1.【答案】1小组合作型求函数的零点求下列函数的零点：(1)yx2x20；(2)f(x)x41.【精彩点拨】先因式分解，再确定函数的零点【尝试解答】(1)yx2x20(x2x20)(x5)(x4)，方程x2x200的两根为5

3、,4.故函数的零点是5,4.(2)由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，方程x410的实数根是1,1.故函数的零点是1,1.求函数的零点常用方法是解方程： (1)一元二次方程可用求根公式求解；(2)高次方程可用因式分解法求根.再练一题 1. 判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)x22x的零点为(0,0)，(0,2)；(2)函数f(x)x1(2x5)的零点为x1.【解】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)x22x的零点为0和2，故(1)错(2)虽然f(1)0，但12,5，即1不在函数f(x)x1的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故(2)错.判断零点所

4、在的区间(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个 D5个(2)函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(e，)【精彩点拨】在区间(a，b)上检验f(a)，f(b)是否满足函数零点存在性定理【解析】(1)由已知数表可知f(2)f(3)10(7)0，f(3)f(4)(7)60，f(4)f(5)6(4)0，a0时，设f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，即解得a1.(3)当a0时，设方程的两

5、根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负不符合题意综上，a的取值范围为.解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题. (2)结合草图考虑三个方面：开口方向；,与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系.再练一题 4. 若本例中的方程至少有一个正根，求实数a的取值范围【解】(1)当a0时，方程变为2x10，解得x，符合题意(2)当a0时，解得a1，故0a1.(3)当a0时，因为f(0)1，故函数f(x)ax22x1与x轴一定有两个交点，故方程ax22x10必有一个正根综上，实数a的取值范围是(，1. 1. 若函数yf(x)在R

6、上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个 B至多有一个C有且只有一个 D可能有无数个【解析】由于函数yf(x)在R上递增，所以函数的图像最多与x轴有一个交点，即函数yf(x)的零点至多有一个故选B.【答案】B 2. yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1，(1,0) B(1,0)，0C(1,0)，1 D1，1【解析】由yx10，得x1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.【答案】C 3. 若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；函数f(x)在(3,5)内无零点；函数f(x)在(2,5)内有零点；函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1,5)内以上说法错误的是_(将序号填在横线上)【解析】由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，错误【答案】 4. 函数f(x)2x3的零点在区间(k，k1)内，则整数k的值为_. 【导学号：】【解析】由题意f(k)f(k1)(2k3)(2k1)0，解得k.又因k为整数，故k1.【答案】1 5. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)y；(2)yx22x4；(3)y2x3；(4)y1log5x.【解】(1)令y0，得0，无解故函数不存