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文档简介
1、线性方程组有解判别定理及 实对称矩阵的对角化,1. 三元线性方程组,（1）,其系数矩阵A和增广矩阵B分别为,一、线性方程组的求解,将方程组(1)的系数矩阵A的行列式的第一列元素的代数余子式分别乘方程组(1)的三个方程，然后相加得：,利用行列式的性质得：,记,r(A)=r(B)情形：,1). r(A)=r(B)=3：此时系数行列式不等于零，方程有惟一解,则有,同理有,2). r(A)=r(B)=2： 此时A和B的任何三阶子式都等于零，由于 r(A)=2, 不妨设,将方程(1)中的前两个方程改写为：,解得,其中t为参数。,(2),事实上(2)也是方程组(1)的解，用系数矩阵A的行列式的第三列元素的
2、代数余子式分别乘方程组(1)的三个方程，然后相加得：,利用行列式的性质及r(A)=r(B)=2得：,因此有：,由于解(2)，满足(1)的前两个方程，所以有：,于是我们有： 当r(A)=r(B)=2时，方程组(1)有无穷多解， 因为解(2)中的参数t是任意的。,其中u,v为参数。所以此时方程组(1)也有无穷多组解。,r(A)r(B)情形：,1). r(A)=2, r(B)=3,矛盾。所以此时方程组无解。,这说明方程组(1)的第一个方程与第二个方程为矛盾方程， 所以此时方程组(1)也有无解。,2). r(A)=1，r(B)=2： 此时A的任何二阶子式都等于零，因此方 程组(1)的三个方程的一次项系
3、数两两成比例，但r(B)=2, 所 以在B中至少有一个二阶子式不为0，不妨设,定理A.3.1. 线性方程组(1)有解的充要条件是r(A)=r(B), 1). 当r(A)=r(B)=3时，方程组有唯一解， 2). 当r(A)=r(B)3时，方程组有无穷多解。,2.一般的线性方程组,其系数矩阵A和增广矩阵 分别为,（*）,定理A.3.2：设线性方程组（*）的系数矩阵,A和增广矩阵,有相同的秩r。则,(2)当rn时，方程组有无穷多解。,(1). 当r=n（n为方程中未知量个数）时，方程组有 唯一解；,3. 齐次线性方程组：,定理A.3.3. 齐次线性方程组(3)当m=n时，有非零解的充要条件 是其系数行列式等于零。,(3),例. 解齐次线性方程组,二、实对称矩阵的对角化,定义2. 设A，B均为n阶方阵，若有可逆矩阵P使,则称矩阵A与B相似。如果B是对角阵，A与B相似，则称A可 对角化，此时B中的元素一定由A的特征值组成，而B的特征 值就是对角线上的元素。,定理A.3.4. 实对称矩阵的特征值为实数。,定理A.3.5
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