2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理 北师大版

1、2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称(2)考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(

2、x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|

3、x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的

4、周期函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()题组二教材改编2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.答案1解析ff4221.4设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析由图像可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)

5、是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题组三易错自纠5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C D.答案B解析依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab，故选B.6偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.答案3解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图像关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f

6、(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等

7、量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin x答案D解析对于A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数；对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；对于C，f(x)2x2xf(x)，为偶函数；对于D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数F(x)f

8、(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性是()AF(x)是奇函数，G(x)是奇函数BF(x)是偶函数，G(x)是奇函数CF(x)是偶函数，G(x)是偶函数DF(x)是奇函数，G(x)是偶函数答案B解析F(x)，G(x)定义域均为(2,2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶函数，G(x)是奇函数题型二函数的周期性及其应用1(2017西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2 B1 C1 D2答案A解析f(x1

9、)为偶函数，f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.2(2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.3定义在R上的函数f(x)满足f(x6)

10、f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.答案339解析f(x6)f(x)，周期T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数

11、周期性的判断，利用函数周期性求值题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式典例 (1)(2017全国)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.答案12解析方法一令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.(2)(2016全国改编)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则f(x)_.答案解析当x0时，x0，f(x)f(x)ex1x，f(x)命题点2求参数问题典例 (1)若函数f(x)xln(

12、x)为偶函数，则a_.答案1解析f(x)f(x)，xln(x)xln(x)，ln()2x20.ln a0，a1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若f f，则a3b的值为_答案10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.命题点3利用函数的性质解不等式典例 (1)(2017安阳模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0时，g(x)ln(1x)，函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，

13、1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析g(x)是奇函数，x0时，g(x)g(x)ln(1x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(2x2)f(x)，可得2x2x，即x2x20，2x1.(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)答案A解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的

14、问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.跟踪训练 (1)已知偶函数f(x)在区间0，)上是增加的，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析因为f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，又f(x)在0，)上是增加的，f(2x1)f，所以|2x1|，所以x.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为f

15、(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)所以f(25)f(80)f(11)函数的性质考点分析 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性

16、解决相关问题一、函数性质的判断典例1 (1)(2017北京)已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数(2)(2017荆州模拟)下列函数：ysin3x3sin x；y；ylg ；y其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为()A1 B2 C3 D4(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图像关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_解析(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)

17、3xxx3xf(x)，函数f(x)是奇函数函数yx在R上是减函数，函数yx在R上是增函数又y3x在R上是增函数，函数f(x)3xx在R上是增函数故选B.(2)易知中函数在(0,1)上为增函数；中函数不是奇函数；满足条件的函数为.(3)由f(x)f(x2)0可得f(x4)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期是4，对；由f(4x)f(x)，可得f(2x)f(2x)，f(x)的图像关于直线x2对称，对；f(4x)f(x)且f(4x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对答案(1)B(2)B(3)二、函数性质的综合应用典例2 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x3)，当1x3

18、时，f(x)cos ，则f(2 017)_.(2)函数f(x)log2在1，)上是增函数，则a的取值范围是_(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上是增加的若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_解析(1)由已知可得f(x6)f(x3)3)f(x)，故函数f(x)的周期为6.f(2 017)f(63361)f(1)f(x)为偶函数，f(1)f(1)，而f(13)，f(1)f(1)2.f(2 017)2.(2)由已知函数yx2 018在1，)上是增函数，且y0恒成立y1，令y0得ax2(x1)，a1.又由当x1时，y12 018a0，得a2 019.a的取值范围是

19、1,2 019) .(3)f(2|a1|)f()f()，又由已知可得f(x)在(0，)上是减少的，2|a1|，|a1|，a.答案(1)2(2)1,2 019) (3)1下列函数为奇函数的是()Ay By|sin x|Cycos x Dyexex答案D解析函数y的定义域为0，)，所以该函数不具有奇偶性，排除选项A，函数y|sin x|，ycos x的图像关于y轴对称，所以均为偶函数，排除选项B，C，故选D.2设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函

20、数答案A解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.3(2017江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x2x1，则f(f(1)等于()A1 B1 C2 D2答案A解析yf(x)是奇函数，f(1)f(1)1，ff(1)1.4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于()A4 B2C2 Dlog27答案C解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4

21、，f(2 021)f(45051)f(1)f(1)1，且当x时，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2 021)f(1)2.5对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)答案D解析由f(x)f(2ax)，yf(x)关于直线xa对称(a0)，题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)x2的对称轴为x0，不满足题意，故选D.6已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,

22、1上是增加的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是增加的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)7若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.答案解析函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)a

23、x，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，解得a.8已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.答案2解析函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，f(1)f(1)f(12)f(1)，f(1)0，fff2，ff(1)2.9设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.答案解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(

24、1)f(0)1211201.10若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是增函数如果实数t满足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范围是_答案解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1)又函数f(x)在区间0，)上是增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上是增加的，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx

25、，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上是增加的，结合f(x)的图像知所以10，f(x2)，对任意xR恒成立，则f(2 019)_.答案1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 019)f(50541)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 019)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.14设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数