2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形应用举例学案 理 北师大版

1、4.7解决方案三角形的实际应用示例最新的高射河鉴定考试方向分析。利用正弦定理、余弦定理等知识和方法，可以解决与测量和几何计算相关的实际问题。以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，经常与三角恒等式转换、三角函数的性质相结合，加强数学知识的应用性。问题型主要是选择题和扣除问题，中级难度。实际测量的一般问题求AB图形需要测量的因素解法求垂直高度底部可以接触到ACB=、Bc=a直角三角形ab=atan 解底部达不到ACB=、ADB=beta，Cd=a两个直角三角形ab=求水平距离山的两边ACB=、Ac=b，Bc=a馀弦定理ab=两岸ACB=、ABC=beta，Cb=a正弦定理ab

2、=河对岸ADC=、BDC=beta，BCD=，ACD=，Cd=a在ADC中，AC=；在BDC中BC=；在ABC中，应用余弦定理找到AB知识扩展实际问题中常用的术语1.仰角和突出度在垂直平面(如目标线)内的水平视线和目标视线的角度，目标视线称为水平视线上方的高度，目标视线称为水平视线下方的倾向性(图1)。2.方向角相对于某一正向的水平角度，如东南30，西北45等。3.方位角指示从正北向顺时针方向线的水平角度。例如，B点的方位角为(图2)。4.坡度(也称为坡率)坡度的垂直高度与水平长度的比率。题组思想辨析1.判断以下结论是否正确(括号中的“”或“”):(1)从A看B的仰角为alpha，从B看A的倾

3、向性为beta，alpha，beta的关系为 =180。（）(2)倾向性是由垂直线和视线组成的角度，范围是()(3)方位角和方向角本质上是相同的。全部确定观测点和目标点之间的位置关系。()(4)方位角大小的范围为0，2，方向角大小的范围通常为.()问题组2教材改编2.如图所示，通过将两个点A，B放在河的两岸，并在一个测量员在A所在的同侧河岸上选择一个点C，以50 m，ACB=45，CAB=105测量AC的距离，可以将两个点A，B的距离计算为M。答案50在正弦定理中解释=另外，b=30，ab=50(m)。3.如图所示，从山脚A计算的山顶P的仰角为30，沿倾斜角度为15的斜坡从A米上升到B，从B计

4、算的山顶P的仰角为60，山高H=米。答案a解释可以从主题图中获得。paq=30，Baq=15，在PAB中，PAB=-=15，另外PBC=60，BPA=-=-=30，=，Pb=a，pq=PC CQ=PBS inasin=asin60 asin15=a .问题组3容易出错4.在一个测量中，B点的高程为60，C点的倾角为70，A测量相同的半平面方向，则BAC等于()。A.10b.50c.120d.130答案d5.如图所示，如果点D、C、B 3位于地面上的同一条直线上，点DC=A、C、D 2处的点A的高程分别为60，30，则点A在地面上的高度为AB=。答案a解释是已知DAC=30，ADC是等腰三角形，

5、ad=a，因此在RtADB中，ab=ad=a6.在防洪结构中，一个救生艇引擎突然发生故障，停止转动，失去动力的救生艇从洪水中漂走，此时风向为东北30，风速为20公里/h。水流为正东，流速为20公里/h，如果不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂浮的方向为东北，速度的大小为km/h。答案60 20图， AOB=60，馀弦定理OC=20=202 202-800 COS 120=1 200，因此OC=20， Coy=30 30=60。问题类型1距离，寻找高度问题1.(2018吉林长春检察官)河岸上有炮台高度30米，江上有两艘船，船和炮台底部在同一个水平面上，炮台顶部各测量45和60的倾角，2倍和炮台底部成

6、30角，2倍是m。答案10解释图片，Om=aotan 45=30 (m)、On=aotan 30=30=10 (m)，由MON中的余弦定理得到。Mn=10 (m)。2.(2017郑州一中月试验)如图所示，在顶峰塔B，地面a的倾角为alpha，在塔C，a的倾角为beta。已知塔式BC部分的高度为H，行高CD=。答案解决方法已知为BCA=90 ，ABC=90-，BAC=-，CAD=。在ABC中，在正弦定理中=也就是说=、AC=。在RtACD中，CD=ACS inCAD=ACS in=。所以高山光盘。3.(2018日照模拟)船以每小时15公里的速度向东航行，船在A处看到灯塔B在东北60方向，然后跑4

7、 h，船到达C，看到牙齿灯塔在东北15方向。这时船和灯塔的距离是公里。答案30如所示，问题中所示，BAC=30，ACB=105，b=45，AC=60，在正弦定理中=，BC=30(km)。事故升华距离，高度问题注意事项(1)要选择或确定要创建的三角形，请首先确定所需的杨怡三角形，如果已知其他杨怡，请直接解决。如果有未知的杨怡，就把未知的量放在其他水晶三角形里解决。(2)决定是使用正弦定理还是余弦定理，如果都可以的话，选择容易计算的定理。问题类型2寻找角度问题如上所述，位于A的信息中心获悉，在正东方向40海里外的B处有一艘渔船遇难，正在原地等待救援。信息中心立即向位于西南30，20海里外的C上的乙

8、线通报消息，目前乙线在东北东()方向沿直线CB向B方向前进救援，COS 的值如下：答案在ABC中，ab=40，AC=20，BAC=120，用余弦定理得到Bc2=ab2 ac2-2 ABAC cos120=2 800，得到Bc=20。正弦定理，结果=，也就是说，sin _ ACB=sin _ BAC=。Bac=120如果ACB是预压印，则cos-ACB=。=从AC b 30获得cos =cos (AC b 30)=cos/acbcos 30-sin/acbs in 30=。事故升华测量角度问题解决时的注意事项(1)首先要明确方位角或方向角的含义。(2)分析问题的意思，区分已知的和想要的，根据问题

9、的意思画出正确的示意图，是最重要和最重要的步骤。(3)把实际问题转化为可以用数学方法解决的问题，然后注意正弦，余弦定理的“联合”的使用。追踪训练已知两个灯塔A和B与海洋观测站C的距离相同，如图所示，灯塔A位于观测站C的东北40方向，灯塔B位于观测站C的东南60方向。灯塔A在灯塔B的方向。答案是西北10解释是已知的ACB=180-40-60=80、此外，AC=BC，a=AC=BC=50，60-50=10，灯塔a位于灯塔b的西北10方向。问题三角形和三角函数的综合问题前例(2018石家庄模拟)在ABC中，A、B和C分别位于A、B和C的另一侧，(2A-C) COS B-Bcos c=0。(1)球面b

10、的大小；(2)设置函数f(x)=2 sin xcos xcos b-cos 2x，以便函数f(x)的最大值和f(x)获得最大值时得出x的值。解决方案(1)为(2a-c) cosb-bcos c=0。所以2 acos b-CCOs b-bcos c=0，在正弦定理中，我们得到了2 2 sin Acos B- sin Ccos B- cos Csin b=0 B=0。2 sin acos b-sin (c b)=0。另外，因为c b=-a，所以sin (c b)=sin a .因此，神a (2 cos b-1)=0。在ABC中，神a 0，所以cos B=，然后B(0，)，所以B=。(2) b=，所

11、以f (x)=sin2x-cos2x=sin，2x-=2k(kz)，x=k(kz)，也就是说，当x=k(kz)时，f(x)最多得到1。思维升华三角形和三角函数的综合问题需要将三角函数性质的整体替代思想和数形结合起来，结合三角形角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理来解决问题。追踪训练设定f (x)=sinxcos x-cos 2。求(1) f(x)的单调间隔。(2)在锐角ABC中，如果每个a，b，c的另一侧分别为a，b，C. f=0，a=1，则求出ABC面积的最大值。解决方案(1)是问题，f (x)=-=-=sin2x-。-2k2x2k，kz中，可用性-kxk，kz；在2k2x2k，kz中，可用

12、kx k，kz所以f(x)的增量间隔(kz)；减小的间隔为(kz)。(2) f=Sina-=0时，Sina=，因为知道A是锐角，所以cos A=。余弦定理a2=B2 C2-2 BC cos a可以获得1 BC=B2 C2 2bc。也就是说，只有在BC2，和B=C的情况下，等号才成立。所以是BCS in A。因此，ABC面积的最大值为：函数思想适用于求解三角形。前例(12分钟)，某港口O需要将重要物品用小船送到正在航行的一艘船上。小船出发时，船位于港口O西北30，距该港口20海里，以30海里/小时的航行速度沿正东方向以一定速度行驶(1)遇上时，小船的航行距离最小，那么小船的航行速度该有多大呢？(？(2)假设船的最大航行速度只能达到30海里/小时，设计航行方案(即决定航行方向和航行速度的大小)，以便船在最短的时间内与船会合，说明原因。在指导已知思维方式的两边和其中一方的对角解三角形时，可以设置第三个方面，用余弦定理列方程来解