Matrix1-2内积空间.ppt

1、五、子空间,概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？,1. 子空间的概念,定义： 设集合WVn（F），W ，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。 判别方法： W是子空间 W对Vn（F）的线性运算封闭。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。,重要的子空间： 设向量组1，2， mVn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间： L1，2，m = ,矩阵AF mn，两个子空间： A的零空间：N(A)=X ： AX=

2、0F n， A的列空间： R(A)= LA1，A2，A nF m， Ai为A的第i列。 R(A)=y ：x F n, y= Ax,2. 子空间的“交空间”与“和空间”,讨论：设W 1 Vn(F)，W2 Vn(F)，且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ （1） 交空间 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn(F) 容易验证： W1W2是子空间，被称为“交空间” （2）和空间 和集： W1W2=X1X2X1W1，X2W2，,W1W2 W1W2,容易验证： W1W2是子空间，被称为“和空间”，,W1W2不一定是子空间，W1W2 W1W2,例17 设R3中的子空间W1=Le1，W2

3、=Le2 求和空间W1W2。 比较：集合W1W2和集合W1W2。,如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 则 W1W2=L1，2，m，1，2， k ,3 . 维数公式,子空间的包含关系：,dimW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn(F)。 定理1.6 ：(P216) dimW1dimW2=dim(W1W2)dim(W1W2) 证明的主要方法：基扩充方法,4. 子空间的直和,分析：如果dim(W1W2)0，则 dim(W1W2)dimW1dimW2 所以： dim(W1W2)=dimW1dimW2 dim(W1W2)=0 W1W2=0 直和的定义： 定义16 ： d

4、im(W1W2)=0 ，则和为直和 W=W 1W2=W1W2，,子空间的“和”为“直和”的充要条件 ： 定理18 设W=W1W2，则下列各条等价： （1） W=W1W2 （2） X W，X=X 1X2的表示 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一的 （4） dim W =dimW1dimW2,例1 设在Rnn中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=BBT= B ， 证明Rnn=W1W2。 例2 子空间W的“直和补子空间” (P.218, 定理6.1-4), 12 内积空间,主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系（长度，正交等）。 一、 欧氏空间和酉空间 1. 几何空间

5、中度量的定义基础 2. 内积的定义 定义17 (P237) ：要点 内积(，)是二元运算：Vn(F) F (，)的公理性质 (，)是任何满足定义的运算。 讨论(，12), (，k),3. 内积空间的定义 Vn（F）；（，） ，F= R ，欧氏空间；F=C，酉空间 4. 常见的内积空间： R n ；(，)= T , C n ；(，)=H , C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= ,5. 向量的长度 定义： | | =,6 欧氏空间中向量的夹角： 定义：0，0，夹角定义为： cos=,性质： | k | =k | | ； Cauchy 不等式： ， Vn

6、(F)；(，), | (，) | | | | | 。 | | | | | |, 和 正交 （，）=0,6. 线性空间的内积及其计算与矩阵表示： 设1，2，, n 是内积空间Vn(F)的基，Vn(F)，则有 =x11x22x n n = (12 n)X； =y11y22y n n= (1 2 n)Y (，)= =Y HAX，,定义内积 在一个基1，2， n 下定义内积 确定一个度量矩阵A 。,度量矩阵 A,度量矩阵A的性质：Hermite 性与正定性,二、标准正交基,1. 标准正交的向量组： 定义： 1，2，n为正交组(i，j ) =0 性质： 2. 标准正交基 基1， 2，n是标准正交基 (i， j)=,标准正交基的优点：,标准正交基的优点： 度量矩阵是单位矩阵，即A=I =(12 n)X，=(12 n) Y， (，)=YHX = x1 1x2 2x n n，xi=(，i) 和正交其坐标 X和Y正交 任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积,坐标空间F n的 内 积,求标准正交基的步骤 (P.11, 定理1.1-5) Schmidt 正交化 标准化 矩阵