2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆学案理北师大版

1、第五节椭圆考纲传真(教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用(对应学生用书第138页)基础知识填充1椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方

2、程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2知识拓展1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系：(1)P(x0，y0)在椭圆内1.(2)P(x0，y0)在椭圆上1.(3)P(x0，y2)在椭圆外1.2对于1(ab0)如图851.图851则：(1)Sb2tan .(2)|PF1|aex0，|PF2|aex0.(3)ac|PF1|ac.(4)过P(x0，

3、y0)点的切线方程为 1.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A BC DB椭圆方程为1，a3，c.

4、e.故选B3(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A1B1C1 D1D椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.4椭圆C：1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则F1AB的周长为()A12B16C20D24CF1AB的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆1中，a225，a5，所以F1AB的周长为4a20，故选C5若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_(3,4)(4,5)由已知得解得3k5且k4.(对应学生用书第139页)椭圆的定义及其应

5、用(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A1B1C1 D1(2)F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 BC D(1)D(2)C(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，则a8，c4，b248，故所求的轨迹方程为1.(2)由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF

6、1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|，SAF1F22.规律方法1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.跟踪训练(1)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周长为16，则|AF2|_. 【导学号：】(2)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F

7、2的面积为9，则b_.(1)5(2)3(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，ABF2的周长为16，4a16，a4.则|AF1|AF2|2a8，|AF2|8|AF1|835.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，Sr1r2b29，b3.椭圆的标准方程(1)若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()Ay21B1Cy21或1D以上答案都不对(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A1 B1Cy21 Dy21(1)C(2)A(1)直线与坐标

8、轴的交点分别为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，所以a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，所以a25，所求椭圆的标准方程为1.(2)依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.规律方法求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式.跟踪训练(1)(2017湖

9、南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()A1 By21C1 D1(2)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_. 【导学号：】(1)C(2)1(1)由条件可知bc，a2，椭圆的标准方程为1.故选C(2)依题意，设椭圆C：1(ab0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.椭圆的几何性质角度1求离心率的值或范围(201

10、7全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A BC DA由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A角度2根据椭圆的性质求参数已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D5A椭圆1的长轴在x轴上，解得6m10.焦距为4，c2m210m4，解得m8.规律方法(1)求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含

11、有e的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.跟踪训练(1)已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21B21C或21 D或21(2)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A BC D(1)D(2)C(1)当94k0，即5k4时，a3，c29(4k)5k，解得k.当94k，即k5时，a，c2k5，解得k21，所以k的

12、值为或21.(2)如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|2c.ac2cac.e. 直线与椭圆的位置关系(2018东北三省四市模拟(一)已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：ykx1(k0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为，求BOC的面积解(1)由题意b1，c，a2b2c23，又椭圆E的焦点在x轴上，椭圆E的方程为y21.(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线方程与椭圆联立整理得(3k21)x26kx0，由原点O到直线l的距离为，得k2，又|BC| 2，SBOC|BC|，BOC的面积为.规律方法直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率).易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽视判别式.跟踪训练已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点(1)求曲线C的