2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数学案

1、第四讲幂函数和二次函数板块一知识结合自主学习基本知识测试中心幂函数的图像和性质1.五种幂函数图像的比较2.幂函数性质的比较即将结束1.一维二次不等式常数成立的条件(1) ax2 bx c 0 (a 0)是常数，当且仅当(2) ax2 bx c 0 (a 0)是常数，当且仅当2.二次函数表达式的三种形式(1)通式：y=ax2 bx c (a 0)。(2)顶点：y=a (x h) 2 k(其中a0，顶点坐标为(-h，k)。)。(3)两个公式：y=a (x-x1) (x-x2)(其中a0，x1，x2是二次函数图像与x轴两个交点的横坐标)。测试现场自检1.判断下列结论是对还是错。(正确键入“”和“错误

2、键入”)(1)幂函数的图像都通过点(1，1)和(0，0)。()(2)二次函数y=ax2 bx c (x r)不能是偶数函数。()(3)二次函数y=ax2 bx c，xa，b的最大值必须是。()(4)当0时，幂函数y=x 在域内是一个递减函数。()答案(1)、(2)、(3)和(4)2.2018济南诊断如果幂函数f (x)=k+=的图像穿过该点，则k =()A.B.1C.D.2答案三从解析上讲，根据幂函数的定义，k=1，f=，所以=，解是=，所以k =。3.教科书改编如果，函数y=x 的定义域是R，所有奇数函数的值都是()A.1，3 B- 1，1C.-1，3d-1，1，3回答一分析上，当=-1，1

3、，3时，幂函数是奇函数，当=-1时，区域不是R，所以=1，3。因此，答.4.教科书改编函数f(x)=2x2-MX 3，当x-2，时，f(x)是递增函数，当x(-，-2)，f(x)是递减函数，然后是f(1)A.-3 B.13C.7 D.5回答乙解析式2， m=-8， f (1)=13。选择b .5.函数f(x)=-x2 4x 1(x-1，1)的最大值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答4分析上，因为对称轴是x=2 -1，1，函数在-1，1上单调增加，所以当x=1时，函数取最大值4。6.教科书改编众所周知，函数f (x)=ax2 x 5的图像在x轴之上，所以A的取值范围是_ _ _ _ _

4、 _ _ _ _。回答分析A，这可以通过了解问题的含义来解决。板块两个典型案例研究方向的突破测试方向幂函数的图像和性质例1 (1)如果函数f (x)=(m2-m-1) XM是一个幂函数，并且是x(0，)上的一个递增函数，那么实数m是()A.-1 B.2c . 3d-1或2回答乙解析f (x)=(m2-m-1) XM是幂函数m2-m-1=1m=-1或m=2。x(0,)是一个递增函数，因此m=2。(2)2016年国家卷三众所周知，A=2，B=4，C=25，那么()A.b1的值确定位置后，其余象限由奇偶性决定。(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择合适的函数，并借助它们的单调性进行比较。

5、变体训练1 (1)众所周知，幂函数f (x)=(N2 2n-2) xn2-3n (n z)关于y轴对称，并且是(0，)上的递减函数，因此n的值是()A.-3 B.1C.2 D.1或2回答乙分析上，因为f(x)是幂函数，N2 2n-2=1，解是n=1或n=-3。经检验，只有n=1符合问题的意思，所以b .(2)2018昆明模拟如果A=20.3，B=30.2，C=70.1，则A，B，C的大小关系为()a . a c b . b . c a bc . a b c . d . c b a回答乙解析幂函数y=x0.1，x(0，)由已知的a=80.1，b=90.1和c=70.1构造而成。根据幂函数的单调性

6、，c a b .求二次函数的解析表达式例2众所周知，二次函数f(x)满足f (2)=-1，f (-1)=-1，并且f(x)的最大值是8，因此尝试确定这个二次函数的解析表达式。解决方案1:(使用通式)让f (x)=ax2 bx c (a 0)。被问题的含义所解决二次函数的解析公式是f (x)=-4x2 4x 7。解决方案2:(使用顶点)让f (x)=a (x-m) 2 n (a 0)。f(2)=f(-1)，抛物线的对称轴是x=。根据问题的意义函数，最大值为8， n=8。y=f(x)=a2+8.f(2)=-1， a2 8=-1，解是a=-4。f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.解决方案3:(

7、使用两个公式)假设f (x) 1=0是x1=2，x2=-1，因此，f (x) 1=a (x-2) (x 1) (a 0)，即f (x)=ax2-ax-2a-1。该函数的最大值f (x) max=8，即=8。解是a=-4或a=0。函数的解析表达式是f (x)=-4x2 4x 7。掌握了一个事物的规律，就能举一反三地推出类似的事物。确定二次分辨率函数的方法根据已知条件确定二次分辨率函数，一般采用待定系数法，选择规则如下：众所周知，二次函数f(x)满足f (1 x)=f (1-x)，并且f (0)=0，f (1)=1。找出f(x)的解析表达式。解1:(通式)让f (x)=ax2 bx c (a 0)

8、，然后f(x)=x2 2x。解2:(两个公式)*对称轴方程为x=1， f (2)=f (0)=0，f (x)=0分别为0和2。让它的解析公式为f (x)=ax (x-2)。如果f (1)=1，我们可以得到一个=-1。f(x)=-x(x-2)=-x2+2x.解3:(顶点)顶点是已知的(1，1)。让它的解析公式为f (x)=a (x-1) 2 1。从f (0)=0，我们可以得到=-1。f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x.方向二次函数的图像和性质二次函数的命题角1单调性例3已知函数f (x)=x2 2ax 3，x-4，6。(1)找出实数a的取值范围，使y=f (x)是区间-4，6中的单调函数

9、；(2)当a=1时，求f(|x|)的单调区间。在解(1)中，由于函数f(x)的图像开口是向上的，对称轴是x=-a，如果f(x)是-4，6中的单调函数，它应该是-a4或-a 6，即a6或a4。(2)当a=1，f (x)=x2 2x 3时， f (| x |)=x2 2 | x | 3，其中域是x-4，6。和f (x)=f(|x|的单调递增区间是(0，6)。单调递减区间为-4，0。二次函数的命题角2最大值例4 2016浙江高考如果函数f(x)=x2 bx已知，“b0”为“f(f(x)的最小值等于f(x)的最小值”()A.充分的不必要条件B.必要和不充分的条件C.必要充分的条件D.不充分和不必要的条

10、件回答一这个分析是因为f(x)=x2 bx=2-，它的最小值是f=-。因为f(f(x)=f(x) 2 BF(x)=2-.因为f (x) min=-，如果ff (x)和f(x)，命题角度3:二次函数中的常数建立问题例5石家庄仿真2018让函数f (x)=ax2-2x 2，如果所有满足1 x 0，则实数a的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答解析方程为f (x) 0，即ax2-2x 2 0，x(1，4)，a -在(1，4)上是常数。使g (x)=-=-22，所以g (x) max=g (2)=,因此，要使f (x) 0保持在(1，4)，只要a 。掌握了一个事物的规律，就能举一反三地推

11、出类似的事物。二次函数的最大值和常数的建立(1)解决二次函数最大值问题的思路：掌握“三点一轴”的数形结合，三点指区间的两个端点和中点，一轴指对称轴，这可以根据函数的单调性和分类讨论的思路，结合配点法来完成。(2)二次函数恒常性问题有两种解法：一种是分离参数，其解法的基础是：a f (x)恒常性af(x)最大值，a f (x)恒常性af(x)最小值；其次，参数被分类和讨论，没有分离。核心法律1.幂函数y=x ( r)的图像特征当 0时，图像经过原点和点(1，1)，并且图像在第一象限上升。当 0时，图像穿过点(1，1)，但它不是原点，并且图像在第一象限下降。2.在研究一元二次方程的根分布时，通常是

12、通过二次函数图像的数形结合来求解，一般从：开方向；对称轴位置；判别；终点函数值符号的四个方面分析。3.在研究一维二次不等式的相关问题时，通常借助于二次函数图像和性质来解决。满分策略1.幂函数的图像将出现在第一象限，但不会出现在第四象限。如果幂函数和坐标轴之间有交点，交点必须是原点。2.如果函数y=ax2 bx c是二次函数，它必须满足0。如果主题条件中没有说明a0，则应分两种情况进行讨论：a=0和a0。3.对于与二次函数有关的不等式问题或存在性问题，应注意等价变换。启智佩尤破译了高考车牌数学思想系列2对求解二次函数最大值的问题进行了分类和讨论2018广州模拟已知函数f (x)=-x2 2ax

13、1-a在0x1时最大值为2，为实数值。视点函数的对称轴是X=A，它的位置是不确定的，不同位置产生的结果是不同的，所以对称轴的位置应该分类讨论。当对称轴x=a0时，如图1所示，当x=0时，y具有最大值ymax=f (0)=1-a，因此1-a=2，即a=-1，并且满足a0和 a=-1。当0a1时，如图2所示，当x=a时，y具有最大值ymax=f (a)=-a2 2a2 1-a=a2-a 1。 a2-a 1=2，解是a=。0a1， a=(放弃)。当a1时，如图3所示。当x=1时，y具有最大值。ymax=f(1)=2a-a=2。 A=2，满足a1， A=2。总而言之，a的值是-1或2。答案揭示了区间二

14、次函数的最大值问题可以分为三类：固定对称轴和固定区间；对称轴改变，间隔固定；对称轴固定，间隔变化。这类问题一般用二次函数的象及其单调性来考虑。对于后两类问题，通常应分三种情况进行讨论：对称轴在区间内，左右对称。跟踪培训设f(x)=x2-2x 2，xt，t 1，tR，求f(x)的最小值。解f (x)=x2-2x 2=(x-1) 2 1，xt，t 1，tR，函数图像的对称轴是x=1。当t 11，即t0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)是区间t，t 1内的递减函数，因此最小值为f(t1)=T2 1；当t 1 t 1，即0t1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x=1处最小值为f(1)=1；在t

15、+1处，函数图像如图(3)所示，函数f(x)是区间t，t 1内的递增函数，因此最小值为f (t)=T2-2t 2。总而言之，f (x)最小值=板块4模拟练习可以增加能量和点数甲级基础合格1.2018秦皇岛模拟如果幂函数的图像穿过该点，其单调递增的区间为()A.(0，+)b0，+)C.(-，+) D.(-，0)答案D分析上，如果y=xa，那么=2a， a=-2， y=x-2，并且它的单调递增区间是(-，0)。因此，d .2.2018武汉模拟如果函数f (x)=x2 bx c对于任何实数x都有f (1 x)=f (-x)，那么()A.f (0) f (2) f (0)。因此，a .3.如果不等式(a-2)x2(a-2)x-40对所有xR成立，那么a的取值范围是()A.(-，2 B.-2，2C.(-2，2 D.(-，-2)答案三分析上，当A-2=0，也就是说，A=2，不等式是-40，这总是正确的。当A-2 0时，解是-21，总有f(x)1，总有f(x)1，函数F (x)=x 的图像在Y=x的图像之下，它被生成5.众所周知，