2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.4 三角函数的最值与综合应用学案

1、4.4三角函数的最值与综合应用考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20132014201520162017三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.掌握6,5分17,4分11(文),3分15,约3分分析解读1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此

2、突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计2019年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应引起高度重视.五年高考考点三角函数的最值与综合应用1.(2017课标全国文,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为() A.B.1C.D.答案A2.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B3.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案4.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=

3、sin2x+cos x-的最大值是.答案15.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x时, f(x)-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.(2)证明:因为-x,所以-2x+.所以sinsin=-.所以当x时, f(x)-.6.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中03.已知f =0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的

4、2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin x-cos x-cos x=sin x-cos x=sin.由题设知f=0,所以-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又03,所以=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin.因为x,所以x-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.7.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(x+)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1

5、)求和的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,k=0,1,2,.由-得k=0,所以=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由得0-,所以cos=.因此cos=sin =sin=sincos+cossin=+=.教师用书专用(811)8.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=sin 2x

6、-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f=.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.9.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f=coscos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+x+,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2-sin2),所以sin cos+cos sin=(cos2

7、-sin2).即sin +cos =(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=+2k,kZ.此时,cos -sin =-.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-.综上所述,cos -sin =-或-.10.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=s

8、in 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时, f(0)=-,当2x-=,即x=时,f=,f(x)的最小值为-.因此, f(x)在上的最大值是1,最小值是-.11.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间

9、实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0t24,所以t+11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此t+,即10t18.在10时至18时实验室需要降温.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点三角函数的最值与综合应用 1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,8)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边,其面积满足SABC=a2,则的最大值为()A.-1B.C.+1D.+2答案C2.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,5)函数f(x)=2cos xsin的最大值为() A

10、.1-B.1+C.D.2答案A3.(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,4)已知函数y=2sin x的定义域为a,b,值域为-2,1,则b-a的值不可能是()A.B.C.D.2答案D4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数f(x)=sin(x+)的图象过点.若f(x)f对xR恒成立,则的值为;当最小时,函数g(x)=f-在区间0,22上的零点个数为.答案1+12k,kN;85.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,11)若函数f(x)=asin x+bcos x(ab0)的最小值为f,且f=-2,则=, f(0)的值为.答案;-26.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,18)

11、已知函数f(x)=2sincos x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,f(C)=.若sin B=2sin A,求a,b的值.解析(1)f(x)=sin xcos x-cos2x=sin 2x-=sin-,(4分)f(x)的最大值为,最小正周期为.(6分)(2)由(1)知,f(C)=sin-=,则sin=1.0C,02C2,-2C-0)的一段图象如图所示,ABC顶点A与坐标原点O重合,B是f(x)的图象上一个最低点,C在x轴上,若内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且ABC的面积S满足12S=b2+c2-a2,将f(x

12、)的图象右移一个单位得到g(x)的图象,则g(x)的表达式为()A.g(x)=cosxB.g(x)=-cosxC.g(x)=sinD.g(x)=sin答案D2.(2017浙江杭州质检,9)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,+-=0,则a+c=() A.6B.7C.8D.9答案B二、填空题3.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|(a,bR)的最大值为11,则a2+b2=.答案504.(2016浙江镇海中学测试(五),15)要在一块圆心角为,半径为1的扇形纸片中截出一块矩形,则该矩形面积的最大

13、值是.答案三、解答题5.(2018浙江浙东北联盟期中,18)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-m.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间;(2)当x时,函数f(x)的最大值为0,求实数m的值.解析(1)f(x)=sin 2x-cos2x-m=sin 2x-m=sin-m-,则函数f(x)的最小正周期T=.(4分)由-+2k2x-+2k,kZ,得-+kx+k,kZ,故函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(7分)(2)因为x,所以2x-,(9分)则当2x-=,即x=时,函数取得最大值0,(12分)即1-m-=0,解得m=.(14分)6.(2018浙江名校协作体期初,18)已知函数

14、f(x)=sin xcos x+cos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的最值.解析(1)f(x)=sin+.(4分)T=,故=1.(6分)(2)根据题意知g(x)=f(2x)=sin+,(8分)当x时,4x+,(10分)所以g(x)min=g=;g(x)max=g(0)=1.(14分)7.(2017浙江温州2月模拟,18)已知函数f(x)=sin xcos x+cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-0,f()=,求sin 2的值.解析(1)f

15、(x)=sin 2x+=sin+.(4分)函数f(x)的最小正周期是.(6分)(2)f()=sin+=,sin=,(8分)-0,-2+0,02+,cos=,(10分)sin 2=sin=sin-cos2+=.(14分)C组20162018年模拟方法题组方法1关于三角函数值域或最值的解题策略 1.(2017浙江台州调研,18)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量.(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)f,求函数g(x)的值域.解析(1)由已知得xQ=cos=cos cos -sin sin =,yQ=sin=sin

16、cos +cos sin =,所以点Q的坐标为.(2)函数f(x)=cos+sin=cos x-sin x+cos x+sin x=cos x,于是,g(x)=cos xcos=-sin 2x=-sin.因为-1sin1,所以g(x)的值域为.2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,18)已知f(x)=sin(x+)满足f=-f(x),且其图象向左平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2c-a)cos B=bcos A,求f(A)的取值范围.解析(1)f=-f(x),f(x+)=-f=f(x),T=,=2,