2019版高考数学一轮复习 第12章 选4系列 12.1 坐标系学案 理

1、12.1坐标系知识梳理1.伸缩变换设P(x，y)是平面直角坐标系中的任意点。在变换的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，这称为平面直角坐标系中的坐标展开变换。2.极坐标一般来说，我们认为0和可以是任意实数，无需特别说明。3.极坐标和直角坐标的相互转换假设m是平面上的任意点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，那么它们之间的关系是：诊断自检1.概念推测(1)平面直角坐标系中的点与坐标之间可以建立一一对应关系，极坐标系统中的点与坐标之间也可以建立一一对应关系。()(2)如果点P的直角坐标是(-，)，那么它的极坐标可以表示为。()(3)具有倾角的直线的极坐标方程可以表示为=或= 。()(

2、4)圆的中心在极轴上的点(a，0)，圆与O极相交的极坐标方程为=2。()回答(1)、(2) (3) (4)2.教科书演变(1)(选择a4-4p15t4)如果以直角坐标系原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1-x (0 x 1)的极坐标方程为()A.=，0B.=，0C.=cos+sin，0D.=cos+sin，0回答一解析方程y=1-x(0x1)，sin=1-cos(0cos1)； =。所以选择一个.(2)(选择A4-4P8T5)通过平面直角坐标系中的平移变换和展开变换，可以将椭圆=1变换成圆心在原点的单位圆，并得到平移变换、展开变换和这两种变换的复合变换。首先，通过平移变

3、换将椭圆=1变为椭圆=1。然后，椭圆=1通过膨胀和收缩变换变成单位圆x 2 y 2=1。以上两种变换的综合变换是3.预热一个小问题(1)(2017年东营模拟)在极坐标系统中，如果点P已知，则通过点P并平行于极轴的直线方程为()a .sin=1b .sin=c .cos=1d .cos=回答一解析地说，极坐标转换为直角坐标，p转换为点x= cos =2cos=，y= sin =2sin=1，即，(，1)，通过点(，1)并平行于x轴的直线为y=1，然后转换为极坐标，即 sin =1。因此，答.(2)(2016年北京高考)在极坐标系统中，如果-1=0的直线 cos -和=2的圆 cos 在点A和B相

4、交，则| AB |=_ _ _ _ _ _ _。回答2解析地， cos - sin -1=0被转换成x-y-1=0的直角坐标方程，并且=2 cos 被转换成(x-1) 2 y2=1的直角坐标方程，中心坐标为(1，0)，半径为r=1和(1，0)在直线x-y-1上问题1平面直角坐标系中的伸缩变换圆x2 y2=1上每个点的横坐标不变，纵坐标加倍，得到曲线c。(1)找出曲线c的标准方程；(2)设直线L: 2x y-2=0与C的交点为P2 P1，建立以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系统，求出通过线P1P2中点并垂直于L的直线的极坐标方程.(x，y)和(x1，y1)之间的关系是从问题的意义中找

5、到的，并用代换法求解。在解(1)中，让(x1，y1)是圆上的点，并在已知的变换下成为曲线c上的点(x，y)。根据问题的意思，得到X2 2=1从x y=1，因此，曲线c的方程为x2=1。(2)通过溶液或假设P1(1，0)和P2(0，2)，那么线段P1P2的中点坐标为，直线的斜率为k=。线性方程是y-1=，转化为极坐标方程，最终得到2 cos -4 sin =-3，因此，直线的极坐标方程是=。方法技巧伸缩变换后方程的解平面上曲线y=f (x)在变换作用下的变换方程是：代入y=f (x)，得到=f，然后得到y=h(x)简化为-=1，即，-1是曲线C的方程，它仍然是双曲线，所以得到焦点f1 (-5，0

6、)和F2(5，0)。问题2极坐标和直角坐标的积分(国家一卷，2015)在直角坐标系xOy中，直线C1: x=-2，圆C2: (x-1) 2 (y-2) 2=1，以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求出C1和C2的极坐标方程；(2)如果C3线的极坐标方程是=( r)，让C2和C3的交点为m，n，求出C2MN的面积。(1)使用转换公式；(2)理解1，2的几何意义，用维埃塔定理求解1，2。(1)由于x= cos ，y= sin ，C1的极坐标方程为 cos =-2，C2的极坐标方程为 2-2 cos -4 sin 4=0。(2)将=代入 2-2 cos -4 sin 4=0，得

7、到 2-3 4=0，得到 1=2，2=0。所以 1- 2=，也就是| Mn |=。因为C2的半径是1，所以C2MN的面积是。方法技巧极坐标方程和直角坐标方程的相互转换1.将直角坐标方程转化为极坐标方程：将公式x= cos 和y= sin 直接代入直角坐标方程并简化。2.极坐标方程转化为笛卡尔坐标方程：通过变形，构造cos、sin、2等形式，然后用公式代替，其中方程的两边乘以(或除以)，方程两边的平方是常用的变形技术。冲关的目的是训练在极坐标系统中，已知极坐标方程C1: cos - sin -1=0，C2: =2 cos 。找出C1和C2曲线的直角坐标方程，判断两条曲线的形状。解的方程是C1:

8、cos - sin -1=0， x-y-1=0，这意味着一条直线。从C2: =2COS，我们得到 2=C2:=2cos。 x2 y2=2x，即(x-1) 2 y2=1。因此，C2是一个圆心(1，0)，半径r=1的圆。问题3极坐标方程的应用(2016年国家卷二)在直角坐标系xOy中，圆c的方程为(x 6) 2 y2=25。(1)建立以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系统，求解c的极坐标方程；(2)直线l的参数方程为(t为参数)，l和c在点a和b处相交，| ab |=，计算l的斜率。要解这些方程，使用vieta定理找到| 1- 2 |=。(1)从x= cos 和y= sin ，圆c的极坐

9、标方程为 2 12 cos 11=0。(2)在(1)建立的极坐标系统中，直线L的极坐标方程为= ( r)。设A和B对应的极径分别为1和2，将L的极坐标方程代入C的极坐标方程，得到 2 12 cos 11=0。所以 1 2=-12 cos ， 1 2=11。| ab |=| 1- 2 |=。cos 2 =，tan =来自| ab |=。所以L的斜率是-.方法技巧极坐标方程及其应用类型和解题策略1.找到极坐标方程。在平面直角坐标系中，找到曲线方程，然后将其转化为极坐标方程。2.找出从一点到一条直线的距离。首先将极坐标系中点的坐标和直线方程转化为平面直角坐标系中点的坐标和直线方程，然后利用直角坐标系

10、中点到直线的距离公式求解。3.找出线段的长度。首先，将极坐标系中点的坐标和曲线方程转化为平面直角坐标系中点的坐标和曲线方程，然后求出线段的长度。冲关的目的是训练在直角坐标系中，C1曲线的参数方程为(其中是参数)，C2曲线：(x-1) 2 y2=1。以坐标原点0为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。(1)求出C1曲线的一般方程和C2曲线的极坐标方程；(2)如果射线=( 0)和曲线C1和C2分别在点A和B相交，求|AB|。获得溶液(1)因此，C1曲线的一般方程是x2 (y-2) 2=7。通过将x= cos ，y= sin 代入(x-1) 2 y2=1，( cos -1) 2 ( sin ) 2

11、=1，C2曲线的极坐标方程1.(南阳，2017年末)如果直线l: y kx 2=0与曲线c: =2cos相交，则k的取值范围为()A.k- B.k-C.k r d.k r但k0回答一从曲线c: =2cos到 2=2 cos的解析变换，x2+y2=2x，等式为(1 k2) x2 (4k-2) x 4=0。*直线l和曲线c之间有一个交点，=(4k-2)2-16(1+k2)0，16k =-12，解是k -。k的范围是k -。因此，a .2.(2018年甘肃谷末)在极坐标系统(，)(02)中，曲线=2 sin 与 cos =-1的交点的极坐标为()A.B.C.D.回答乙从解析上讲，可以得到sin 2=

12、-1，然后根据02可以得到2=2。=,=2sin=，曲线=2的sin和cos=-1的交点的极坐标为。因此，乙.3.(2017大庆时期)已知A和B的极坐标是和，那么线段AB中点的直角坐标是()A.B.C.D.答案D点的解析极坐标是，xa=6cos=3,ya=6sin=3,a(3,3)；B (-4，-4)可以用同样的方法得到。设线段AB的中点为M(m，n)，可由线段的中点坐标公式求得线段AB中点的直角坐标是。因此，d .4.(2017年国家二卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。C1曲线的极坐标方程为 cos =4。(1)M为C1曲线上的移动点，p为线段OM

13、上的点，满足| om | | op |=16，得到点p的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在C2曲线上，求OAB的最大面积。(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，) ( 10)。由标题| op |=，| om |= 1=给出。从| om | | op |=16，C2的极坐标方程是=4cos ( 0)。因此，C2的直角坐标方程是(x-2) 2 y2=4 (x 0)。(2)设B点的极坐标为(B，) ( b0)。从标题可知| OA |=2， b=4 cos ，所以OAB面积s=| OA |BsinAOB=4 cos=22+。当=-时，S的最大值为2。因此，OAB面积的

14、最大值为2。基本发送点和加速疯狂刷牙练习1.(延庆县，2018年底)在极坐标方程中，与圆=4正弦相切的直线方程为()A.sin=2 B.cos=2C.cos=4 D.cos=-4回答乙分析=4sin 的一般方程是x2 (y-2) 2=4。选项b:cos=2的一般方程为x=2。圆x2 (y-2) 2=4显然与直线x=2相切，所以选择b .2.(2017年渭滨区月考)在极坐标系统中，A，B，C，那么ABC的形状是()A.直角三角形b .等腰三角形C.等边三角形答案三解析b，OA=5,OB=8，OC=3，AOB=-=,BOC=-=,AOC=-=，在AOB中，它可以由余弦定理得到AB=7，同样，BC=

15、7，交流=7，AB=BC=AC，ABC是一个等边三角形，所以选择c .3.牛顿在1736年发表的流数术和无穷级数中首次将极坐标系统应用于平面上的任何一点。牛顿在他的书中验证了极坐标和其他九个坐标系之间的转换关系。在极坐标系统中，已知圆O: =cos sin 和直线L: sin=。(1)求o与直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线L与圆o的公共点的极坐标.(1)圆o: =cos sin ，即 2= cos sin 。因此，圆o的直角坐标方程是x2 y2-x-y=0，线l: sin=，即 sin - cos =1，直线l的直角坐标方程是x-y 1=0。(2)从(1)中，我们知道圆o和直线

16、l的直角坐标方程，这两个方程同时求解也就是说，直角坐标系中圆o和直线l的公共点是(0，1)，将(0，1)转换为极坐标。4.(2018郑州模拟)在极坐标系统中，C1曲线和C2曲线的极坐标方程分别为=-2 cos 和 cos=1。(1)找出C1曲线和C2曲线的公共点的数目；(2)穿过极点的直线和C2曲线在点Q相交，在OQ上取点P，使| op | | OQ |=2，找到点P的轨迹，并指出该轨迹的形状。解(1)C1的直角坐标方程是(x 1) 2 y2=1，它代表一个圆心为(-1，0)且半径为1的圆。C2的直角坐标方程是x-y-2=0，所以C2曲线是一条直线。因为从中心到直线的距离是d=1，所以直线与圆是分开的，也就是说，C1曲线和C2曲线没有公共点。(2)设Q(0，0)，P(，)，然后因为点Q(0，0)在C2曲线上，所以 0cos=1，将代入，得到cos=1。也就是说，=2cos是点