2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第41讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程优选学案

1、第41回直线的倾斜角和倾斜，直线方程试验纲要思情分析命题趋势1 .在平面正交坐标系中，把握配合具体图形决定直线位置的几何要素2 .了解了直线倾斜角和倾斜角的概念，掌握了两点直线倾斜的修正公式3 .掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及通式)，了解斜截面式与一次函数的关系2016四川卷，102015年全国卷第一、二十(一)2014福建卷，62014四川卷，9直线的斜率、直线方程、两条直线的位置关系以及距离公式是高考考察的重点内容，一般不是单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导函数的几何意义、线性规划等相关知识进行综合考察分数：35分1 .直线的倾斜角(1)定义：直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴

2、与直线l成为正方向！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 上方向_#之间所成的角称为直线l的倾斜角，直线l和x轴！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ _平行或重叠_#时，将其倾斜角设为0。(2)范围：直线l的倾斜角的范围是！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 是_0，) _ _ #。2 .直线的倾斜度(1)定义：直线的倾斜角不是90的话，倾斜度k=！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 我是tan_ _ # # #。(2)修正公式：如果由A(x1，y1)、B(x2，y2)决定的直线与x轴不垂直，则k=！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 是# # #。3 .直线方程的五种形式名字条件方程式适用范围点斜式斜率k和点(x

3、0，y0)y-y0=k(x-x0)不包括直线x=x0斜剖面式斜率k和纵断距离by=千克不包含垂直于x轴的直线两点式两点(x1、y1)、(x2、y2)=不包括直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式截距a和b=1不包括坐标轴和垂直于原点的直线通式Ax By C=0(A2 B20 )应用平面笛卡尔坐标系中的直线1 .思考辨别(括号内打“”或“”)。(1)直线的倾斜角的大小决定不了直线的位置。(2)坐标平面内的任何直线都有倾斜角和倾斜。(3)在直线l1和l2的倾斜都存在的情况下，如果k1=k2，则l1l2.()(4)在平面正交坐标系中，任何直线都有斜式方程式。(5)任何直线方程式

4、都可以写出一般形式。直线倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度，无法确定直线的位置.(2)错误.直线的倾斜角为90时，其倾斜不存在.(3)错误. k1=k2时，两直线可以平行，也可以重叠.(4)错误.直线垂直于x轴(不存在倾斜)时，不能用点斜式方程式表示(5)正确.无论以什么样的形式求，最后的直线方程式都可以写成普通的形式直线x y m=0(mR )的倾斜角为(c )A.30B.60C.150D.120分析得到了k=tan =-、- 0，180 ，=150。3 .在已知直线l通过点p (-2，5 )，斜率为-的情况下，直线l的方程式为(a )A.3x 4y-14=0B.3x-4y 14=0C.4

5、x 3y-14=0D.4x-3y 14=0分析由y-5=-(x 2)得到3x 4y-14=0。4 .如果穿过点M(-2，m )和N(m，4 )的直线的斜率为1，则m的值为(a )A.1B.4C.1或3D.1或4分析得到了1=，m 2=4-m，即m=1。5 .如果点a (4，3 )、B(5，a )和c (6，5 )这三个点是共线，则a的值为！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 是_4_#。分析kAC=1，kAB=a-3。因为a、b、c三点是共线，所以a-3=1，即a=4。直线的倾斜角和倾斜度直线倾斜角的范围为0，但是因为该区间不是相切函数的单调的区间，所以在求倾斜角和倾斜角的范围时，分为3种情况进行

6、讨论。 =时，斜率不存在，-时，斜率k(-，0 )。(1)直线2xcos -y-3=0的倾斜角的可取值的范围为(b )；甲乙丙。(2)直线l通过点p (1，0 )且与以a (2，1 )，B(0，)为端点的线段存在共通点时，直线l的倾斜度可取值的范围为！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ (-、-1，) #。因为直线2xcos -y-3=0的斜率k=2cos 是-，所以分析(1)中的直线2xcos -y-3=0的斜率k=2cos 是。设直线的倾斜角为，则存在tan 1，。另外，由于0，所以-，即倾斜角可取值的范围为.(2)如图所示，kAP=1，kBP=-，我是k-(-) 1，)。二线性方程式的求法求

7、直线方程的注意点(1)使用斜截面式及点斜式时，直线的倾斜必须存在(2)两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，切片式不能表示垂直于坐标轴或通过原点的直线，所以解题时如果采用切片式，要注意分类讨论，判断切片是否为零【例2】根据给定条件获得直线方程(1)直线通过点(-4，0 )，倾斜角的正弦值为(2)直线通过点(-3，4 )，两坐标轴上的截尾之和为12(3)直线通过点(5，10 )，到原点的距离为5。从问题可以看出，分析(1)不存在该直线的倾斜，因此可以采用点斜式设倾斜角为，则sin =(0)、cos =、用k=tan =.求出的直线方程式是y=(x 4)，即，x 3y 4=0或x-3y 4=0。(2)

8、从问题得知截距不为0，直线方程式为=1另外，直线通过点(-3，4 )，=1，求解a=-4或a=9。求出的直线方程式是4x-y 16=0或者x 3y-9=0。(3)存在斜率时，求出的直线方程式为x-5=0在存在倾斜的情况下，将倾斜设为k，求出直线方程式为y-10=k(x-5 )，即，kx-y (10-5k)=0。由虚线距离式得到=5，由解得到k=。求出的直线方程式为3x-4y 25=0。综上所述，求出的直线方程式是x-5=0或3x-4y 25=0。三线性方程的综合应用(1)包含残奥仪表的直线方程式可视为直线系方程式，但在此情况下，若可整理为定点的直线系，则可看到“动中有定”。(2)求解有关直线方

9、程的最大值问题时，求出斜率或设定直线方程，建立目标函数，用基本不等式求解最大值(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4、l2:2x a2y=2a2 4，在0a2时，直线l1、l2被两个坐标轴包围(2)可知直线l通过点p (3，2 )，且与x轴、y轴的正轴分别相交于a、b点，如图所示，求出ABO的面积的最小值和此时的直线l的方程式.根据解析(1)题意，直线l1、l2通过定点p (2，2 )，直线l1在y轴上的截距为2-a，直线l2在x轴上的截距为a2 2，因此四边形的面积s=2(2-a )(2)从题意可知，存在直线l的斜率k，k0，直线l的方程式是y-2=k(x-3)(k0)，得到a、b(0、2

10、-3k )。sabo=(2-3k)=(12 12)=12，然后，等号仅在-9k=、即k=-时成立.ABO面积的最小值为12此时的直线l的方程式为2x 3y-12=0。1 .直线x (a2 1)y 1=0的倾斜角的可取值的范围为(b )甲骨文。我是C.D.因为分析为a2 10，所以直线的斜截面式方程式为y=-x-，所以斜率k=-，即tan =-所以-1tan 0，解为，即倾斜角的可取值的范围为通过点p (，1 )并垂直于直线l:x y-1=0的直线方程式！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ x-y-2=0_ _ # # #。解析直线l:x y-1=0的斜率为-，所以与其垂直的直线的斜率k=.另外，由

11、于通过点p (，1 )，所以求出的直线方程为y-1=(x-)、即x-y-2=03.k0时，两直线kx-y=0、2x ky-2=0和x轴包围的三角形面积的最大值为！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 是_ _ # #。因为分析是2x ky-2=0和x轴与点(1，0 )相交，从解得到y=，所以两直线kx-y=0，2 x ky-2=0和x轴包围的三角形的面积为1=。另外，因为k0，k 2=2，所以三角形面积的最大值为。4 .如果已知的直线x 2y=2分别在x轴、y轴和a、b两点相交，且移动点P(a，b )在线段AB上，则AB的最大值为： 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 是_ _ # #。由于解析直线方程式

12、y=1，所以直线与x轴的升交点为a (2，0 )，与y轴的升交点为b (0，1 )。可知，由于可动点P(a，b )在线段AB上为01且a 2b=2，因此a=2-2b，所以ab=(2-2b)b=-2b2因为0b1，所以当b=时，ab取最大值。容易出错的点忽略直线方程的适用范围误因分析：用直线方程式帮助求解时，如果不能确定直线是否垂直于x轴，则需要研究已知圆M:(x-1)2 (y-1)2=4，直线a通过点c (2，3 )，与圆m和a、b两点相交，=2，求出直线a的方程式。分析r=2，=2，从圆心m (1，1 )到直线a的距离为1。在直线a相对于x轴垂直情况下，配合题意，此时的直线a的方程式为x=2

13、.直线a不垂直于x轴时设其方程为y-3=k(x-2 )，即kx-y (3-2k)=0，1，k=，y-3=(x-2 )，即3x-4y 6=0。综上所述，直线a的方程是x=2或3x-4y 6=0。【跟踪训练1】将直线l的方程设为(a 1)x y-2-a=0(aR )。(1)如果直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程式为！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ _x-y=0或x-2=0_ _ # #。(a-1，直线l和x轴、y轴分别与m、n两点相交，如果o是坐标原点，则OMN的面积最小时，与直线l对应的方程式是！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ 亚麻跌！ y-2=0_ _ # # #。分析(1)当直线l通过坐标原

14、点时，由于该直线在两个坐标轴上截距相等，所以得到a 2=0，解a=-2 .此时的直线l的方程是-x y=0，即x-y=0。直线l通过作为坐标原点a2，在a1的情况下，可以从两个坐标轴上的直线截距相等得到=2 a，解是a=0，此时的直线l的方程式是x y-2=0。直线l的方程是x-y=0或x y-2=0。(2)根据直线方程式可以得到m，n (0，2 a )，因为是a-1，所以SOMN=(2 a )=2。仅在a 1=，即a=0时等号成立。此时的直线l的方程式是x y-2=0。上课时间达到了第四十一节解读试验机检查直线的倾斜角和倾斜、直线方程，经常出现选择题、填空题，或者检查直线和圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2018四川绵阳南山中学期)设直线l的方程式为x 3y-1=0，则直线l的倾斜角为(a )A.150B.120C.60D.30在设直线l的方程式为x 3y-1=0、直线l的斜率为k=-、直线l的倾斜角为(0180 )时，分析为tan =-且=150。2 .通过点a (5，2 )，坐标轴上截距互为倒数的直线l的方程式为(c )A