2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第50讲 椭圆学案

1、第50讲椭圆考纲要求考情分析命题趋势1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景3理解数形结合的思想.2017全国卷，102017浙江卷，22016江苏卷，101.求解与椭圆定义有关的问题，利用椭圆的定义求轨迹方程，求椭圆的标准方程，确定椭圆焦点的位置2求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率，求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.分值：512分1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做_椭圆_这两个定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_集合PM|2a，2c，其中a0，c0，且a，

2、c为常数(1)若_ac_，则集合P为椭圆；(2)若_ac_，则集合P为线段；(3)若_ac_，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围_a_x_a_，_b_y_b_b_x_b_，_a_y_a_对称性对称轴：_坐标轴_，对称中心：_(0,0)_顶点A1_(a,0)_，A2_(a,0)_，B1_(0，b)_，B2_(0，b)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_，B1_(b,0)_，B2_(b,0)_轴长轴A1A2的长为_2a_，短轴B1B2的长为_2b_焦距_2c_离心率e_，e_(0,1)_a，b，c的关系c2_a2b2_1思维辨析(在括号内打“”

3、或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1 F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()解析 (1)错误由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆，而常数等于时，其轨迹为线段F1F2，常数小于时，不存在图形(2)正确由椭圆的定义得，2a，又2c，所以2a2c.(3)错误因为e，所以e越大，则越小，椭圆就越扁(4)正确由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称2(2017浙江卷)椭圆1的离心

4、率是(B)ABCD解析 根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e，故选B3设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则(C)A4B8C6D18解析 依定义知2a6.4若方程1表示椭圆，则m的范围是(C)A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)解析 由方程表示椭圆知解得3m5且m1.5已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足2，PF1F230，则椭圆的离心率为_.解析 在PF1F2中，由正弦定理得sin PF2F11，即PF2F1，设1，则2，所以离心率e.一椭圆的定义椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆

5、；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求，通过整体代入可求其面积等【例1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_3_.解析 (1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故，所以r，由椭圆的定义可知，P点的轨迹为椭圆(2)设r1，r2，则2r1r2(r

6、1r2)2(rr)4a24c24b2.又SPF1F2r1r2b29，b3.二椭圆的标准方程求椭圆的标准方程的方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，(，)解析 (1)椭圆1的焦点为(0，

7、4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a.解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆的长半轴长，短半轴长，焦距分别为2a,2b,2c，由已知条件得解得a4，c2，b212.故椭圆方程为1或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由解得m，n.椭圆方程为1.三椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率【例3】 (1)(2017全国卷)已

8、知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD(2)已知F1(c,0)，F2 (c,0)为椭圆1的两个焦点，P在椭圆1上，且满足c2，则此椭圆离心率的取值范围是(C)ABCD解析 (1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离a，得a23b2，所以C的离心率e，故选A(2)由椭圆的定义得2a，平方得2224a2.又c2，cos F1PF2c2.由余弦定理得222cos F1PF224c2.由，得cos F1PF2.又0cos F1PF21，e.2a2，2a23c2a2

9、，a23c2，e，故椭圆离心率的取值范围是，故选C四直线与椭圆的综合问题直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程(2)求面积先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值(3)判断图形的形状可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系(4)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(5)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交【例4】 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点

10、A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析 (1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2，从而.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd，设t，则t0，SOPQ，因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以当OPQ面积最大时，l的方程为yx2或yx2.1已知椭圆mx24y21的离心率为，则实数m(D)A2B2或C2或6D2或8解析

11、 显然m0且m4，当0m4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m2；当m4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8.2椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，双曲线x21的一条渐近线与椭圆C交于A，B两点，且AFBF，则椭圆C的离心率为_1_.解析 不妨取双曲线x21的一条渐近线的方程为yx，则AOF60，记椭圆C的左焦点为F1(c,0)，依题意得c，所以四边形AFBF1为矩形，AFO是正三角形，所以c，c，则椭圆C的离心率为e1.3(2018甘肃兰州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求

12、k的值解析 (1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，解得k1.4(2018湖北武汉起点调研)如图，已知椭圆：1左，右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作两条平行直线AB，CD交椭圆于点A，B，C，D.(1)求证：|AB|CD|；(2)求四边形ABCD面积的最大值解析 (1)设直线AB的方程为：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y

13、2)，将xmy1代入3x24y212中得(3m24)y26my90，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，ABCD，CD的方程为xmy1，代入3x24y212中得(3m24)y26my90，由知|y1y2|y3y4|，|AB|y1y2|，|CD|y3y4|，|AB|CD|.(2)由(1)知四边形ABCD是平行四边形，SABCD4SAOB，SAOB|OF1|y1y2|，SABCD2|y1y2|22424，设t1m2，f(t)9t6(t1)，则f(t)90，f(t)在1，)上递增，f(t)minf(1)16，故m0时，四边形ABCD面积取最大值6.易错点忽略椭圆中x，y的取值范围错因分析：忽略椭圆

14、1(ab0)上的点P(x，y)的坐标满足axa，byb这一条件可能致错【例1】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程解析 依题意，可设椭圆方程为1(ab0)，则e21，所以，即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2x22a2y23y324b23.由于点(x，y)在椭圆上，所以有byb，若b，则当yb时，d2有最大值，于是()22，从而解得b，与b矛盾，所以必有b，此时当y时，d2有最大值，所以4b23()2，解得b21，a24，于是所求椭圆的方程为y21.【跟踪训练1】 (2018湖北黄冈高三调考)若点O和点F分

15、别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(C)A2B3C6D8解析 由椭圆1，可得点F(1,0)，设P(x，y)，2x2，则(x，y)(x1，y)x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6.课时达标第50讲解密考纲对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现一、选择题1如果x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(A)A(0,1)B(0,2)C(1，)D(0，)解析 x2ky22转化为椭圆的标准方程，得1，x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，2，解得0kb0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角

16、为30的等腰三角形，则E的离心率为(C)ABCD解析 由题意可得|PF2|F1F2|，所以22c，所以3a4c，所以e.4(2018福建厦门模拟)椭圆E：1(a0)的右焦点为F，直线yxm与椭圆E交于A，B两点，若FAB的周长的最大值是8，则m(B)A0B1CD2解析 设椭圆的左焦点为F，则FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a8，所以a2，当直线AB过焦点F(1,0)时，FAB的周长取得最大值，所以01m，所以m1.故选B5已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为(B)ABCD解析 设向量，的夹角

17、为.由条件知|AF2|，则|cos ，于是要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以|cos .故选B6从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C)ABCD解析 由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，即2，e.故选C二、填空题7若F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)，B1PA2为钝角，即，所夹的角为钝角，(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20，即e2e10，e或e

18、，又0e1，eb0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析 (1)将(0,4)代入C的方程得1，b4，由e，得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)将y(x3)代入椭圆C的方程，得1，即x23x80，x0，y0(x1x26)，即线段AB的中点坐标为.11(2018广州五校联考)已知椭圆E：1(ab0)的离心率e，且经过点(，1)，O为坐标原点(1)求椭圆E的标准方程；(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当PMQ60，求直线PQ的方程解析 (1)，a22c2，a22b2，又椭圆E经过点(，1)，1，解得a2，b2，椭圆E的标准方程为1.(2)连接O