数学实验之四数列与级数.ppt

1、2020/7/30,数学实验之四数列与级数,陈发来 中国科学技术大学数学系,2020/7/30,1、数列与级数,数列 级数 数列与级数的关系 给定数列（1），令 ，则数列（1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 则级数（2）等价于数列（1）。,2020/7/30,给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时的极限状态又如何？,2020/7/30,2、Fibonacci数列,Fibonacci数列由递推关系 确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，

2、8，13，21，34，55,1,2,3,4,5,2020/7/30,为研究Fibonacci数列的规律，我们在二维平面 上画出顺次连接点列 的折 线图。,2020/7/30,易知 故有 的阶在 与 之间。 为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接 的折线图。然后用直线去拟 合之.,2020/7/30,2020/7/30,猜测 将上式代入递推公式中得 由此 然而,上式并不满足 进一步猜测,2020/7/30,由此得 可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此， Fibonacci数列趋于无穷的阶为,2020/7/30,一般地, 给定数列的递推关系 假设 则 满足,2020/7/30,因

3、此 的通项为 其中 是上述方程的根。,2020/7/30,3、调和级数,调和级数 研究数列 的极限阶.,2020/7/30,首先研究 的折线图.,2020/7/30,由于 下面研究 的极限. 从上图猜测, 极限 存在. 实际上,易知,2020/7/30,故知极限存在. 进而 由此猜测 用数据拟合发现, 称为Euler常数.,2020/7/30,也可以直接从数列 出发. 猜测,2020/7/30,4、3N+1问题,问题：任给自然数n，如果n是偶数，则将n除2；如果n是奇数，则将n乘3加1。重复上述过程得到一个无穷数列。例如， 上述数列可递归地定义为 如果n为偶 如果n为奇,2020/7/30,我

4、们来研究上述数列的规律。先从简单的示例开始。,2020/7/30,用Mathematica编程验证： 1、是否对任意n，从n开始产生的数列最后都落于421的循环中？ 2、数列在落于421循环之前，有什么规律？,2020/7/30,对n=27得,2020/7/30,2020/7/30,该问题起源于20世纪50年代，被称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想，简称3x+1问题。 目前有人验证到 猜想仍然成立。,2020/7/30,一些观察： 如果 ，则 对 ， 为奇数，则,2020/7/30,如果对每个n, 数列中有某一项小于n

5、, 则猜想成立。 对 n=4k+1, 有 对 n=16k+3, 有,2020/7/30,如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一 1、数列落于有别于421的循环中； 2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。,2020/7/30,引入一些概念： 航班：从n开始迭代产生的数列（直至1为止）。如第5次航班为5168421 航程：航班的长度。如航班5168421的长度为5 最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如第5航班的最大飞行高度为16,2020/7/30,保持高度航程：从起点起连续不小于起点的数字的个数。如3105168421的保持高度航程为5。如果所有航班的保持高度航程有限，则3n+1问题成立

6、。 航程记录航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程为16。 保持高度航程记录航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。,2020/7/30,最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于所有它前面的航班的最大飞行高度。 对于一个固定航班N, 考虑它着陆前的表示奇变换。其中除2的变换称为偶变换，乘3加1的变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。,2020/7/30,一些记录： 保持高度航程：N=118303688851791519, G(N)=1471 留数：N=993, R(N)=1.253142 航程：N=1269884180266527, F(N)

7、=2039,2020/7/30,显然3N+1问题与下列问题等价： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）对所有N, E(N)有限； 4）对所有N, O(N)有限。,2020/7/30,一些探索： 1）航程与起点的关系。,2020/7/30,上述图形中有没有规律？ 用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界与n存在什么样的函数关系？例如，当n适当大后，是否有f(n)n？ 一些航程记录：,2020/7/30,2）保持高度航程与起点关系。,2020/7/30,上述图形中能看出什么规律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)的上界是否与不超过c*log(N)? 对 N=2p-1

8、, a_2=3*2p-2, a_4=32*2p-1, a_2p=3p-1. 于是，G(2p-1)2p. 一些保持高度航程记录： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.,2020/7/30,3）最大飞行高度与起点的关系。,2020/7/30,用t(n)表示航班n的最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n的关系如何？例如，是否有t(n)K*n*n ?,2020/7/30,偶变换与奇变换的关系：,2020/7/30,O(N)/E(N)的上界是什么？当N趋于无穷时，O(N)/E(N)的极限是什么？ 简单分析： 其中 R(N)称为留数，它是所有形如 的项的积

9、，这里 a_i是航程中的奇数。例如，,2020/7/30,对于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15) 取对数得 故,2020/7/30,且 如果 则,2020/7/30,一些猜测： （1） R(N)= R(993) (2) 令 C(N)=O(N)/E(N), 则 C(N)C, Clog2/log3为常数。,2020/7/30,启发式论证： 注意每一次奇变换后必然是偶变换，但每一次偶变换后可以是奇变换，也可能是偶变换。假设这种可能性是一样的。从某一个N开始，我们考察航班高度的变化： （1）奇变换后做偶变换的结果为奇数，可能性1/2，高

10、度变换 3/2； （2）奇变换后做偶变换的结果为偶数，可能,2020/7/30,性为1/4，高度变化3/4； 奇变换后再作三次偶变化，可能性1/8，高度变化3/8； . 平均变化高度： 高度最终下降。,2020/7/30,用c 表示保持高度航程中奇变换的次数的平均值。利用上述模型可以证明，c=3.49265. 对3到2000000000之间航班的保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926。这两个结果的惊人的一致性使我们相信上述启发式模型的正确性。,2020/7/30,一些理论结果： （1）R. Terra 和 C. Evertt证明了：几乎所有的航班都会下降到它的起点以下。 （2）存在

11、常数c, 当n 足够大时，在比n小的航班中，能够在1上着陆的航班个数大于或等于nc. 1978年，R. Crandal首先给出c=0.05; 1989年I. Krasikov得到c=0.43; 1993年G. Wirsching给出c=0.48; 1995年D. Applegate 和J. Lagarias得到c=0.81.,2020/7/30,会不会永远证不出来？ 自从哥德尔发表他的著名的不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难的问题，都会疑神疑鬼这会不会证不出来？ 哥德尔的不完备定理，在包含皮亚诺的自然数公理的系统中，总有不可证明的命题存在。因而3N+1问题有可能不能证明，即使它是错误的。比如，我们可能发现一个航班，,2020/7/30,它非得越来越高，但无论如何不能证明它永远也不会着陆到1。 数学家J. Conway（发明了生命游戏）定义了一个类似3N+1问题的不可证明的命题。但他的方法仍然不能说明3N+1是否可以证明。,2020/7/30,各种变化与推广 （1）推广到负数。可以有三个不同循环： -1-2-1 -5-14-7-20-10-5 -17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17 是