2019年高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明学案 文 北师大版

1、第二节不等式的证明强传真通过几个茄子简单的问题证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。(相当于学生书第166页)填充基础1.不等式证明方法(1)比较方法：寻找差异比较法：如果你知道AbA-B0，AB，你只需要证明A-B 0。牙齿方法称为差异比较法。寻找业务比较方法：因为Ab01和A0，b0，要在A0，B0证明ab，只需证明 1。牙齿方法称为构想比较法。(2)分析方法：从要证明的结论到达到已知条件为止，以已知条件类推。这种证据法被称为分析法，即“执行科邮戳”的证明方法。(3)合成方法：在已知条件下，利用不等式的性质(或已知证明的不等式)提出了要证明的结论，即“在人身上寻找水果的方法”。证明

2、这种不等式的方法称为综合法。(4)几何学：通过构造几何利用几何的性质证明不等式的解法称为几何学。(5)收缩和反增法：证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)或缩小(或缩小)分数的分母(或分子)来证明不等式。证明这种不等式的方法称为收缩法。反证法是常用的证明方法。通过证明命题结论的否定，肯定命题结论必须成立。证明的步骤如下。得出否定结论的假设；推断，推导矛盾。否定的假设，肯定的结论。2.几个茄子的一般基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：对于所有实数A、B、C、D，都有(A2 B2) (C2 D2) (AC BD) 2(矢量(A、D)和矢量柯西不等式的向量形式：，是两个向量时| |=

3、kb |，是0向量或有实数k时，=k存在时，等号成立。柯西不等式的一般形式A1、a2、an和B1，B2，bn是两组实数(a a.a) (b b.b) (a1 B1 aa(2)算术-几何平均不等式A1、a2、如果an牙齿为正数，则为，并且a1=a2=.=an时，等号才成立。基本能力自检1.(事故辨析)判断以下结论的对与错。(正确的打击“，错误的打击”)(1)比较法最终判断表达式的符号，得出结论。（）(2)综合方法是从原因到结果的思维方式，从已知条件逐步推理，最后得出要证明的结论。(3)分析法也称为反推证法或执行科邮戳法，是从证据结论开始逐步摸索结论成立的必要条件，最终达到问题设定的已知条件或证明

4、的事实。（）(4)使用反证法时，“反说”不能作为推理的条件。(。（）回答(1)(2)-300；(3)(4)2.(教材改编)如果a b 1，x=a，y=b，则x和y的大小关系为()A.x y b.x yC.xyd . xyA x-y=a -=a-b=。从A b 1得到ab 1，a-b 0。因此 0，也就是x-y 0，因此x Y.3.(教材改编)a b 0，m=2 a3-B3，n=2ab 2-a2b，n的大小关系为_ _ _ _ _ _mn2a 3-B3-(2a B2-a2b)=2a(a2-B2)b(a2-B2)=(a2-B2)(2a；因为A-b0 b 0，所以a-b a0，a b 0，2a b

5、0，结果为(a-b) (a b) (2a b) 0，因此为2a3-B3 2ab 2-a2b。4.如果a 0、b 0和ln (a b)=0，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _。道学号：4 如问题中所示，a b=1、a 0、b 0、=(a b)=22=4或更高，并且只有当a=b=时，等号才成立。5.已知x 0，y 0，证明：(1 x y2) (1 x2 y) 9xy。证明 x 0，y 0。所以1 x y2 3 0，1 x2 y 3 0，因此，(1 x y2) (1 x2 y) 33=9xy。(相当于学生书第167页)比较法证明不等式已知的a 0，b 0，认证：。证明法日：-()=0， .10分

6、法2:因为=-1-1=1.8分另外，a 0，b 0， 0， .10分规律的方法 1。法日中采用国富通点，优化了问题解决过程。在法2中，利用不等式的性质将证明A B转换为证明1 (B 0)。2.证明不等式是对不等式进行合理变形的关键。特别是要特别注意证明不等式，不等式的两面必须是同号。提醒：使用商人比较法时，要注意说明分母的符号。变形训练1 (2018长沙模拟)A，B是非负实数，确认：a2 B2 (a b)。证明因为a2 B2-(a b)=(a2-a) (B2-b)=a (-) b (-)=(-) (a-b)=.6点因为A0，b0，所以无论ab0或0ab，都有a-b和a-b相同的号码，所以(a-

7、b) 0，所以a2 B2 (a b) .10分综合法证明不等式(2018长春模拟)A、B、C全部为正数，A B C=1为：(1)a b BC AC；(2) 1。证明 (1) a2 B2 2ab、B2 C2 2bc、C2 a2 2ca、获得A2 B2 C2 a b BC ca。在标题中，(a b c) 2=1，即a2 B2 C2 2ab 2bc 2ca=1。所以，3(a b BC ca)1，即a b BC ca5分(2)由于b 2a、c 2b、a 2c因此，(a b c) 2 (a b c)、 1.10分，因为a b c法则方法 1。综合证明的本质是用归纳法证明的逻辑关系。AB1B2.BNB (

8、A必须证明已知条件或数学定义、定理、巩俐、B的结论)，它的一般书面表达是“，”2.要用合法证明不等式，分析已知和证明之间，不等式左右两端之间的差异和联系。合理转换，正确选择已知不等式是证明的关键。变形训练2 (2017石家庄调查)已知函数f (x)=2 | x 1 | | x-2 |。求(1) f(x)的最小值m。(2)如果a，b，c都是正实数，并且满足a b c=m， 3。道学号：解释 (1) x 3；两点-1x 2时f(x)=2(x 1)-(x-2)=x 43，6；当X2时，f (x)=2 (x 1) (x-2)=3x 6。总之，f(x)的最小值m=3.5点(2)证明：a、b、c都是正实数

9、，满足a b c=3。因为(a b c)= 2=2 (a b c) .8点(仅当a=b=c=1时，才需要“=”。）所以 a b c，也就是说 3.10分分析法证明不等式(2015年全国范围) A、B、C、D都是正数，A B=C D证明：(1)如果是ABCD(2)是| a-b | | c-d |的充要条件。证明(1)要证明、只需证明()2 () 2。证明A B 2 C D 2。只要证明就行了。、认证ab 光盘。Ab 由于光盘，所以 . 5分(2)如果| a-b | | c-d |然后(a-b) 2 (c-d) 2，也就是(a b) 2-4ab (c d) 2-4cd。a+b=c+d，因为A b=

10、c d在(1)中得了. 8分如果，然后()2 () 2、A b 2c d 2。a+b=c+d，因为A b=c d因此，(a-b)2=(a b)2-4ab(c d)2-4cd=(c-d)2。所以| a-b | | c-d |。概括地说，| a-b | | c-d |的先决条件0.10点法则方法 1。牙齿问题调查不等式证明和充要条件的判定渗透命题、推理论证能力以及转换和返回的思维方式。两个不等式都是正数，可以通过两边的平方证明。2.当要证明的不等式更难发现条件和结论之间的关系时，使用分析法寻找证明路径，使用分析法证明的关键是必须能够逆转推理的所有阶段。3.通过分析方法证明的想法是“执行和邮戳”，该方框显示如下。 。转换培训3 a b c，a