19章角平分线.ppt

1、角 平 分 线,汇泉学校 李丽,请在纸上画一个角，你能不利用工具很快将这个角分成两个相等的角吗？你有什么办法？,再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,一、,请用尺规作AOB角平分线,（）分别以M，N为圆心大于MN一半的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C,（3）作射线 则射线OC即为所作。,A,B,()以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于M，交OB于N,想一想：为什么OC是角平分线呢？,已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分AOB.,证明：连接 CM，CN 在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMCONC （SSS） MOC=NOC

2、 即：OC平分AOB,A,B,还记得角平分线上的点具有什么性质吗？,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,得出:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,二、,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 在PDO和PEO中, PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: P

3、D=PE,（2）证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,符号语言：, 1= 2, PD OA， PE OB PD=PE,(3)得到角平分线的性质：,角平分线上的点到角两边的距离相等。,1、判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF. ( ) （2）如图2，P是AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.( ),随堂练习,2、如图，在RtABC 中，,角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。,A,B,C,C90,BD是角平分线 ，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC 相等吗？,答：,DE=DC。,

4、 BD是ABC的平分线,且DEBA，, DE=DC。,为什么？,DCBC，,3、如图，E是AOB的角平分线OC上的一点， EMOB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离,分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。,解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点， EMOB， ENOA， EM=EN 又 EM=3cm， EN=3cm 即点E 到OA的距离为3cm。,E,课堂练习,M,3cm,4、已知：OD平分AOB,在OA,OB边上取OAOB,PMBD,PNAD. 求证：PMPN,O,B,D,M,N,A,1,2,3,4,P,通

5、过以上练习你有什么收获?,1、定理的应用有两个条件，缺什么就求证什么。 2、有“角平分线”常见的辅助线就是向角两边作垂线段。 3、在证明边相等的问题时可以不用证明全等而直接用该定理，该定理为我们证明边相等提供了思路。,已知：如图,P为角内一点且PDOA，PEOB， 点D、E为垂足，PDPE 求证：点P在AOB的平分线上,PDOA，PEOB，,在Rt PDO 与Rt PEO中,PDO= PEO=900,PD=PE（已知）,OP=OP（公共边）,RtPDO Rt PDO(HL),1=2 即点P在AOB的平分线上,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,逆命题,在一个角的内部，并且到角的两边距离相

6、等的点，在这个角的平分线上.,三、,证明：过点O、P作射线OC,符号语言：, PD OA， PE OB且 PD=PE 点P在AOB的平分线上,得到角平分线的判定定理,在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.,P,O,B,A,A,C,B,E,D,P,M,H,K,如图，在ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P 求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等,证明：过点P作PM、PK、 PH分别垂直于AB、BC、AC，垂足为M、K、H。 BD平分CBM PKPM 同理PKPH PKPMPH 即点P到三边AB、BC、AC的距离相等,若求证点P在BAC的平分线上，又该如何证明呢？,感悟与收获,2.通过本节课的学习，你有什么收获？,1