第四章 几何元素的投影1.ppt

1、第 四 章 点、直线和平面的投影,本章的主要内容： 4.1 点的投影 4.2 直线的投影 4.3 平面的投影 4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置 4.5 投影变换 4.6 综合问题示例,三视图之间的方位对应关系,Y, 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,用绘图工具实现三等规律,41 点的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正

2、 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,4.1 点的投影, 点的侧面投影到OZ轴的距离，等于点的水平投影到OX轴的距离，,1.点的投影规律:, 点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：,aaOX轴,aaOZ轴,aax= aaz=y= A到V面的距离,点的三面投影和坐标的关系为： 水平投影 a 反映A点

3、X和Y的坐标； 正面投影 a反映A点X和Z的坐标； 侧面投影a反映A点Y和Z的坐标。,y,x,z,O,A,V,H,W,a,a,a,4.1 点的投影,2. 已知点的两个投影，求第三投影,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用分规直接量取aaz=aax,d,d,e,e,f ,f ,e ,f,d ,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,a,a ,a ,两点中X值大的点 在左 两点中Y值大的点 在前 两点中Z值大的点 在上,二、 两点的相对位置,例题：已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,例：已知A点的三个投影和B

4、点的两个投影 b、b”，求b,方法1：采用画45度斜线的方法 方法2：采用相对坐标的方法,两点间的相对位置可通过它们的坐标差来确定。,不画投影轴的投影图，称为无轴投影图。,例：已知点A的三投影，又知另一点B对点A的相对坐标 X=12，Y=8，Z=10，求点B的三投影 。,分析：,点A是参考点，根据相对坐标X、Y、Z的正负值，可判定点B在点A的右方、后方和上方。,注意：,侧面投影Y的量取方向,重影点是指处于同一投射线上的空间两点（即它们有两个相同的坐标），它们在该投影面上的投影相重合。,重影点投影的可见性要根据不相同的那个坐标来判断，其中坐标值大者为可见，小者为不可见，并规定不可见点的投影加括弧

5、表示。,重影点,2）重影点,注意：,重影点投影的可见性采用观察方向与对投影面的投射方向一致的观察法来判断，且先看到者为可见。,4.2 直线的投影 1. 各种位置直线的投影特性：,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcos,1.各种位置直线的投影特性,在三投影面体系中，直线有三种位置：,1. 直线的投影特性： 1） 投影面平行线水平线,投影特性： 1、ab/OX， ab/OY 2、ab=AB,1. 直线的投影特性： 1） 投影面平行线侧平线,投影特性： ab/OZ ， ab/OY。 ab=AB。,

6、1) 投影面的平行线,投影面平行线的投影特性：,在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段，且反映实长。,其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。,例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的 特征,水平线,正平线,1. 直线的投影特性： 2） 投影面垂直线铅垂线,投影特性： a b 积聚 成一点 a bOX; a b OY ab= a b=AB,2） 投影面垂直线侧垂线,投影特性： ab 积聚 成一点 a b OY ; ab OZ a b = ab =AB,2) 投影面的垂直线,投影面垂直线的投影特性：,在与线段垂直的投影面上，该线段的投影积聚成一点。,其余两个投

7、影垂直于相应的投影轴，且反映该线段的 实长。,例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的 特征,（2）,侧垂线,铅垂线,3） 一般位置直线：倾斜于各投影面的直线,投影特性：三个投影都是倾斜线，且都小于实长。,练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。,练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。,2. 直线上点的投影：,直线上的点具有两个特性： 从属性：点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 定比性： 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c

8、: c b= ac : cb = ac : c b,例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a,b,c ,4.3平面的投影,不在一直 线上的三点,平面的空间位置可用以下几种方法来确定：,直线和直 线外的一点,相交 两直线,平行 两直线,任意平 面图形,1.各种位置平面的投影特性,在三投影面体系中，平面有三种位置：,铅垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为ABC的类似形,1.各种位置平面的投影特性, 投影面的垂直面,投影面垂直面的投影特性：,在与平面垂直的投影面上，该平面的投影为一倾斜线段，具有积聚性，且反映与

9、另两投影面的倾角。,其余两个投影都是缩小的类似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,2） 投影面平行面,水平面,投影特性： 1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 2 、 水平投影abc反映 ABC实形,投影面平行面的投影特性：,在与平面平行的投影面上，该平面的投影反映实形。,其余两个投影为平行于投影轴的线段，且都具有积聚性。,2） 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投

10、影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,3） 一般位置平面,由于一般位置平面对三个投影面都倾斜，因此，其三个投影都是缩小的类似形。,练习1:已知立体上平面P、Q、R的空间位置， 在投影图中标注其投影位置,并填空。,水平,铅垂,侧垂,空间点线面之间的相对位置,空间两直线的相对位置 平面上的直线和点 直线与平面及两平面的相对位置,一、空间两直线的相对位置 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a

11、,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,3,4,两直线

12、相交吗？,1d,1c,例：判断直线AB、CD的相对位置。,c,d,a,b,c,d,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,例题 判断两直线重影点的可见性, 平面上取任意直线,二、平面上的直线和点,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该

13、直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解, 平面上取点,例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,三、直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,1. 平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,（1）直线与平面平行,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC

14、。,有无数解,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,唯一解,例题3 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,（2） 两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,2. 相交问题,（1） 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关

15、系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1） 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,2） 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可

16、见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,（2） 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例1：求两平面的交线MN并判别可见性。,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的