常微分方程第5章答案

1、练习5.11.给定方程x=x x=(*)a)证明了u (t)=和v (t)=分别是满足初始条件u (0)=和v (0)=的方程组(*)的解。b)测试证明w (t)=c u (t) c v (t)是满足初始条件w(0)=的方程组(*)的解，其中它是一个任意常数。解决方案：a) u(0)=u(t)=u(t)v(0)=v (t)=v(t)因此，u (t)和v (t)是给定初值问题的解。b) w(0)=u(0) u(0)=w (t)=u (t) v (t)=w(t)因此，w(t)是给定方程初值问题的解。2.将下列初值问题转化为一阶方程的等价初值问题：a) x 2x 7tx=e，x(1)=7，x(1)=

2、2b) x x=te，x(0)=1，x(0)=1，x (0)=2，x (0)=0c)x(0)=1，x (0)=0，y(0)=0，y (0)=1解决方法：a)让x=x=x，x=x，然后得到也就是说，x=x(1)=7 x(1)=x(1)=2因此，原初值问题转化为一阶方程的等价初值问题：x=x(1)=其中x=0。b)如果=x=，您将得到：和(0)=x(0)=1，=(0)=-1，(0)=(0)=2，(0)=(0)=0因此，原初值问题转化为一阶方程的等价初值问题：=x(0)=其中x=。c)让w=x，w=，w=y，w=y，那么初始值问题可以简化为：和那是wW(0)=其中w=3.尝试逐步逼近的方法来找到方程

3、=x x=满足初始条件x(0)=的第三个近似解。解决方案：0241201杨素玲练习5.202412-02 02412-031.测试证书=是方程组x=x，x=的基本解矩阵，在没有原点的任何区间a中。解：假设第一列是(t)=1，那么(t)=1，所以(t)是一个解。类似地，如果第二列用(t)表示，我们有(t)=(t)，那么(t)也是一个解。所以这是一个解矩阵。因为det=-t，它是一个基本的解矩阵。2.考虑方程组x=A(t)x (5.15)，其中A(t)是区间A上的连续n-n矩阵，其元素是A(t)，I，j=1，2，n。a)如果x (t)，x (t)，x (t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的v

4、ronsky行列式Wx (t)，x (t)，x (t) W(t)满足下列一阶线性微分方程w=ab)求解上述一阶线性微分方程，并证明以下公式：W(t)=W(t )e t，t a，b解决方案：w (t)=.=.完成后，原始形式变为(a a )=(a a )w(t)=(a (t) a (t)w(t)b)因为w (t)= a (t) a (t) w(t)，也就是= a (t) a (t)dt从t到t的两边积分ln -ln=w(t)=w(t )e，t a，b3.设A(t)是区间A上的连续n个实矩阵，它是方程x=A(t)x的基本解矩阵，x=(t)是它的解之一。试着证明：A)对于方程y=-A (t)y的任何

5、解，y=(t) (t)=常数；b(t)是方程y=-A (t)y的基本解矩阵，当且仅当存在一个非奇异常数矩阵c，因此(t) (t)=C .溶液a) (t) (t)=(t) (t)=(t) (t)A(t)因为=-(t)(t)，所以=-(t)(t)(t)(t)=-(t)(t)A(t)(t)A(t)(t)=0，因此，对于方程y=-A (t)y的任何解，y=(t) (t)=常数。b)“假设”是方程y=-A (t)y的基本解矩阵，那么(t) (t)如果有一个非奇异常数矩阵C，detc 0，让(t) (t)=C，然后(t) (t)=(t) (t)=0，所以(t) (t)=-(t) (t)=-(t) a (t

6、)。4.设它是方程x=Ax的标准基解矩阵(即(0)=E)(A是n个常数矩阵)，并证明：(t )=(t- t ),其中t是某个值。证明了：(1)、(t- t)是基本解矩阵。(2)因为它是方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，并且当t=t时，(t) (t)=e，(t-t)=(0)=e。因此，(t )=(t- t)可以从解的存在唯一性定理中得到5.设A (t)和F (t)是在区间A上连续的N-N矩阵和N维列向量，并证明方程组x=A(t)x f(t)存在且至多有N 1个线性独立解。证明了如果x，x，x是x=A(t)x的n个线性无关解和x=A(t)x f(t)的解，那么x，x，x都是非齐

7、次线性方程的解。让我们证明它们是线性独立的，假设有常数c，(I=1，2)A上有线性相关，这与已知的相反，所以x，x，x是线性独立的，所以方程系统x=A(t)x f(t)存在，并且最多有n 1个线性独立的解。6、尝试证明非齐次线性微分方程的叠加原理：解是方程组解决方案。证据：(1) (2)分别替换(1)和(2)然后然后制造直接证据7.考虑一个方程组，其中a)测试证明是基本解矩阵；b)尝试找到满足初始条件的解决方案。证明：首先，验证它是一个基本的解矩阵由表示的第一列然后这就是方程的解如果第二列由我们有这也是方程的解这是方程的解矩阵又因此，它是矩阵的基本解；b)根据常数变易公式，方程的解满足初始条件

8、和8.试着问一问，其中满足初始条件解决方案。解决方案：从问题7得知的基本解决方案矩阵然后如果方程满足初始条件有如果有9个，试着找出下面方程的通解：a)解答：很容易知道，相应的齐次线性方程的基本解组是此时此刻源自公式一般的解决方案是b)解答：很容易知道，相应的齐次线性方程的基本解组是是方程的特征根因此，方程有一个根像代替所以这个方程有一个通解c)解：很容易知道，对应于对应的齐次线性方程的特征方程是方程的基本解组因为它是相应的齐次线性方程的解所以这也是原始方程的解方程的一般解是10、给定f(t)是连续的方程，试着用常数变易公式来证明：a)如果f(t)在上界，那么上述方程的每个解都在上界；b)如果，

9、当，那么上述方程的每个解(当)。证明：a)上限M0存在，所以这也是齐次线性方程的基本解组非齐次线性方程的解满足初始条件的非齐次线性方程的解x(t)有一个固定常数制造因此因此，上述方程的每个解都在上表面上有界b)，当tN，从a)的结论来看因此，最初的命题成立了11.给定方程(5.15)这里，A(t)是区间上的连续矩阵，设它是(5.15)的基本解矩阵，并且n维向量函数F(t，x)是连续的，试证明初值问题：(*)唯一的解决办法是积分方程(*)的连续解。相反，(* *)的连续解也是初值问题(8)的解。证据：如果它是(*)的唯一解然后从非齐次线性方程组的求解公式出发也就是说，(*)的解满足(* *)相反

10、，如果它是(* *)的解，则有两边t的导数：也就是说，(* *)的解就是(*)的解练习5.31、假设a是nn矩阵，试着证明：a)对于任何常数，都有exp(A)=exp A exp Ab)对于任何整数k，有(expA)=expkA(当k为负整数时，(expa)=(expa)证据：a)(a)(a)=(a)(a)出口(A)=出口a出口ab)当k0时，(expa)=expa expa.expa=exp(A A A)=expkA在k0，-k0(ExPa)=(ExPa)=exp(-A)=exp(-A)exp(-A)=exp(-A)-(k)=expkA因此，k有(expA)=expkA2.测试：如果解=Ax

11、满足初始条件=，那么=expA(t-t )证明：根据定理8= (t) -1 (t0) (t)因为(t)=exp，-1(t0)=(exp 0)-1=exp(-at0)，f (s)=0，因为矩阵(at) (-at0)=(-at0) (at)因此=expa (t-t)3.尝试计算下列矩阵的特征值和相应的特征向量a) b)c) d)解决方案：a) det (e-a)=(-5) (1)=0=5，=-1特征向量u=，()对应于=5特征向量v=，()对应于=-1(1)(2)(2)=0=-1，=2，=-2对应于=-1=(0)的特征向量u1对应于=2=，()的特征向量U2对应于=-2=，()的特征向量u3(1)

12、2-(3)=0=-1(双)，=3对应于=-1(双)的特征向量u=(0)特征向量v=，()对应于=3d)det(E-A)=(3)(1)(2)=0=-1，=-2，=-3对应于=-1=(0)的特征向量u1对应于=-2=，()的特征向量U2对应于=-3=，()的特征向量u34.尝试找到方程Ax的基本解矩阵，并计算expAt，其中a为：a) b)c) d)解决方案：a) det (e-a)=0=，=-对应的特征向量是u=，(0)相应的特征向量是v=，() u=，v=是两个线性独立的特征向量，对应于 (t)=是基本解矩阵ExpAt=b)从det (e-a)=0，=5，=-1解是u=，v=是两个线性独立的特征向量，对应于那么基本解矩阵是 (t)=(0)=-1(0)=0Expat= (t) -1 (0)=c)从det (e-a)=0，=2，