数值分析ex12-13《数值分析》习题课II.ppt

1、高斯消元法 矩阵的三角分解 雅可比迭代与赛德尔迭代 迭代法收敛定理 最速下降法,数值分析习题课 II,2/20,一、高斯消元法,三角方程组解法、顺序消元法、列主元法、追赶法,二、矩阵的三角分解 矩阵的紧凑格式分解、改进平方根法,三、向量范数和矩阵范数 常用的三种向量范数、常用的三种矩阵范数、条件数,四、迭代法及收敛性分析 雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代、收敛定理、误差定理、初等变分原理,定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) 0 (k=0,1,n-1)的充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.,Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵, 则 det(A) 0. 证: 用反证法。设det(A

2、) = 0, 则齐次方程组Ax=0有非零解 u =u1, u2, , un T.,设 考虑Au =0的第k个等式,3/20,4/20,两边约去 |uk|，得,这与主对角占优矛盾, 故det(A) 0。,Ex2.设A对称且a11 0,经过高斯消元法一步后,A约化为,证明A2 也是对称矩阵。,证明:设,经高斯消元一步后,得,5/20,所以, A2 = A2T,思考: 1.若A是对称正定矩阵,经高斯消元一步后,右下角子矩阵A2也是对称正定矩阵; 2.若A为对角占优矩阵，经过高斯消元法一步后，右下角子矩阵A2也是对角占优矩阵。,Ex3.对任何一种矩阵的算子范数,证明矩阵A的谱半径与A的范数有关系:(A

3、) | A |,证:设 是矩阵A任一特征值,x 是对应的特征向量,则,Ex4.若矩阵A是n阶对称矩阵, 则有,证：设 是A的任一特征值,由于A对称,故2 是矩阵ATA的特征值,即,6/20,7/20,由2-范数计算公式,Ex5.对任意x，yRn，利用向量范数的三角形不等式证明：,证: | x | = | (x y )+ y | | x y | + | y | | x | | y | | x y | 同理, | y | | x | | y x | =| x y | | x | | y | | x y | | x y | | x | | y | | x y | ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵,8

4、/20,Gauss-Seidel迭代法的矩阵: BG-S= (D L)-1U,Ax = b, 将矩阵分裂: A = D U L,BJ = D-1(U+L),特征多项式与特征方程: | I D-1(U+L)| = |D-1|D (U+L) | | D (U+L) | = 0,特征多项式与特征方程: |I (D L)-1U| = |(D L )-1|(D L ) U | |(D L ) U | = 0,9/20,Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。,证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D L )-1U,该矩阵的特征方程为,|(D L ) U | = 0,行列式

5、对应的矩阵为,当| | 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得,故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零，故不是特征方程 C() = |(D L ) U | = 0 的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D L )-1U的特征值必然满足：| | 1，从而高斯-赛德尔迭代矩阵谱半径小于1，迭代法收敛。,10/20,11/20,Ex7.证明，当| | 1时，二阶约当块 的方幂J m 极限值为零。,证：由于,假设,则有,由数学归纳法知,12/20,而| | 1，故,思考:三阶约当块,的方幂Jm表达式结构,13/20,Ex8.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足 Xk+1=Xk

6、(2I A Xk )，（k =0，1，2，） 证明:当 时,证明：由Xk+1=Xk(2I A Xk )，得 I AXk+1 = I A Xk(2I A Xk )= (I A Xk )2 于是 I AXk =(I A Xk -1)2 =(I A Xk -2)22 = ,14/20,15/20,练习2. 设A=(aij)nn为可逆下三角矩阵，证明A-1仍为下三角矩阵。,练习1. 分析求解三对角方程组追赶法的计算工作量。,练习3. 设A=(aij)nn为可逆上三角矩阵，证明A-1仍为上三角矩阵。,练习4. 用列主元法解方程组,练习5:求矩阵的2-范数, 以及2-范数意义下的条件数,16/20,练习6. 设A =( aij )nn为实对称正定矩阵, xR n, b R n,如果 u 使二次函数,取极小值 , 证明 u 是线性方程组 Ax = b的解。,练习8.有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式,讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.,练习7. 写出n维向量序列X(k) 收敛于向量X* 的定义； 设 ,而 B 是 n 阶方阵,证明,17/20,(1) A1 = B ( I + R + R2 + )； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k