第四次、三重积分概念和计算1.ppt

1、三重积分概念与计算1,1、三重积分定义； 2、三重积分计算； 3、小结、思考题 。,一、三重积分的定义:,a,b,c,d,z=g,z=e,N,M,P, =a ,b ; c ,d ; e ,g,I =,积分区域是长方体,.,.,D,同理，也有其 它 积分顺序.,1. 计算三重积分,化为一个定积分和 一个二重积分的运算,z2(x,y),为图示曲顶柱体,I =,P,N,M,.,.,积分区域是曲顶柱体,D,z1(x,y),2.计算三重积分,z2(x,y),I =,D,积分区域是曲顶柱体,为图示曲顶柱体,也化为一个定积分和 一个二重积分的运算,z1(x,y),2.计算三重积分,.,这种计算方法叫投影法

2、（先一后二法）,注意1:,注意2： 三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对x外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形状和被积函数的特性（主要是几何体的形状，即往哪个坐标面投影利于解题）。,一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 zyx； 投影到xoy面； 2、积分次序为 yzx； 投影到xoz面； 3、积分次序为 xy z； 投影到yoz面。,：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 .,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x = 0, y = 0, x+2y =1 围成,z = 0,1,.,.,.,3.计算三重积分,x +

3、 2y + z =1,Dxy,I =,x+2y =1,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,6,2,4,1 找出上顶、下底及投影区域 . 2 画出投影区域图.,Dxy:,y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成.,z = 0,不画立体图做三重积分,Dxy,.,.,4.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,4.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,4.,：平面y=0 , z=0，3x+y

4、 =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,4.,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,4.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,4,2,x+y

5、+z=6,.,4.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,4,2,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域.,4.,.,D,6,2,4,D,.,1 找出上顶、下底及投影区域 2 画出投影区域图,不画立体图做三重积分,Dxy:,z = 0,。,。,Dxy,当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?,。,5.,I =,试计算：,？,y2=x,.,5.,y2=x,.,5.,。,。,y2=x,.,5.,D,Dxy:,z =0,1,1,。

6、,。,Dxy,6.,双曲抛物面,1,x+ y=1,1,z=xy,.,6.,1,x+ y=1,1,z=xy,.,6.,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,.,6.,解:,c1,c2,z,Dz,8. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,先做二重积分，后做定积分,截面法,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,8. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,截面法,c1,c2,I =,先做二重积分，后做定积分,8. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,截面法,c1,c2,8. 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）,.,先做二重积分，后做定积分,I =,截面法,设空间有界闭区域 ，其中 是竖标为 Z的平面截闭区域 得到的平面闭区域。,则有“先二后一公式”,投影到yoz面,b,c,1