自动控制原理课件(精)8.ppt

1、第8章 非线性系统理论,8.1 引言 8.2 典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响 8.3 描述函数法 8.4 相平面法,8.1 引言,8.1.1 非线性系统特点 8.1.2 研究非线性系统的意义与方法,8.1.1 非线性系统特点,非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点,线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠 加原理。,X1+X2,Y1Y2,图81 带滤波器的非线性系统,2.非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。,例：对于一由非线性微分方程,X = - x( 1 x ) (8-1),.,描述的非线性系统，显然有两

2、个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为,设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得,(8-2),x(t),t,1,0,图82 一阶非线性系统,3. 非线性系统可能存在自激振荡现象,4. 非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂 的情况： （1）跳跃谐振和多值响应 如图83所示的非线性弹簧输出的幅频特性。,2,.,1,3,4,5,.,图83 跳跃谐振与多值响应,(2)分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图84所示波形。,输入信号,倍频信号,分频信号,t,t,t,图84 倍频振荡与分频振荡,8.1.2 研究非线性系

3、统的意义与方法,1. 研究非线性系统的意义 1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。 2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。 2. 研究非线性系统的方法,1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。 2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。 3）计算机求解法是利用计算机运算能力

4、和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。,2. 研究非线性系统的方法,8.2 典型非线性特性的数学描述及其 对系统性能的影响,8.2.1 饱和特性,8.2.2 死区特性,8.2.3 间隙,8.2.4 继电特性,8.2.1 饱和特性,在电子放大器中常见的一种非线性，如图85所示：,饱和装置的输入特性的数学描述如下：,(8-1),x,e,k,b,e0,-e0,图85 饱和特性,8.2.2 死区特性,死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。其数学描述如下：,X(t),e(t),e0,-e0,k,图86 死区特性,(8-3),8.2.3 间隙,如图8-7所示，它的数学描述如下：,X(t)0 X(t)0

5、 X(t)=0,e0,-e0,e,b,-b,k,k,图87 间隙,(8-4),x,.,.,.,8.2.4 继电特性,在使用继电特性时，有四种可供选择的形态，如图88所示,理想继电特性,0,M,e,图8-8(a) 理想的继电特性,（8-5）,x,具死区的继电特性,（8-4）,x,e,-e0,e0,0,图8-8(b) 具死区的继电特性,具磁滞回环的继电特性,e(t)0,ee0; e(t)-e0 e0,ee0; e0,e-e0,.,.,.,.,x,e,-e0,e0,0,M,图8-8（c) 具滞环的继电特性,(8-5),具磁滞回环和死区的继电特性,e0, ee0 eme0 e0, -me0, e-me

6、 e0, e-e0,.,.,.,.,.,.,x,e,-e0,-me0,0,me0,e0,M,图8-8(d) 具磁滞回环和死区的继电特性,(8-6),8.3 描述函数法,8.3.1 描述函数的概念 8.3.2 典型非线性的描述函数 8.3.3 多重非线性的描述函数 8.3.4 用描述函数法分析非线性系统,8.3.1 描述函数的概念,描述函数适用于具有以下特点的非线性系统。 1. 系统线性部分和非线性环节可以分离。如图89所示，图中NL为非线性环节，G为线性部分的传递函数。,-,图89 非线性系统典型结构,r,y,2. 非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系为静特 性。 3. 线性部分应具良好的低

7、通滤波特性。 若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输 出基波分量与输入正弦量的复数比。 假定，给非线性环节的输入为正弦量,(8-7),一般情况下，其输出为周期函数，可展开成傅立叶级数,式中，由于非线性为奇对称特性，所以A00。而,(8-8),取基波分量，有,(8-9),则基波分量为,(8-10),式中,(8-11),则描述函数,(8-12),由式（812）可知，描述函数是输入振幅A的函数，是一个可变增益的放大系数。,8.3.2 典型非线性的描述函数,1. 饱和特性 如图810所示。该饱和特性输入,X(t),X(t),t,t,k,图810 饱和特性及输入输出波形,e(t),e(t),饱和特

8、性描述函数求得如下：,(8-13),2. 死区特性,当输入 时，非线性特性输入输出波形如图811所示。,X(t),X(t),e(t),e(t),t,t,k,.,-a,a,图811 死区特性及输入输出波形,死区描述函数求得为,(8-14),间隙 当输入 时，由间隙的数学描述可知，间隙输出x(t) 为,X(t)=,(8-15),于是，可求得间隙的描述函数N（A）为,(8-16),(8-17),4. 继电特性 假定输入 ，继电特性输出为,式中,A1,(8-18),B1,(8-19),具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A）为,，,(8-20),(8-21),(8-22),8.3.3 多重非线性的描

9、述函数,1. 串联非线性 如图812所示串联非线性。串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。,x,y,z,图812 串联非线性,假定图812中NL1为死区非线性，NL2为饱和非线性，它们串联后复合非线性如图813所示,X,Y,Z,x,y,k1,a1,y,z,k2,b1,图8-13(a) 串联非线性,X,Z,k1k2,a1,a1+,图8-13(b) 复合非线性,z,x,2. 并联非线性 并联非线性特性如图814所示。,x,y1,y2,y,图814 并联非线性,N(A) = N1(A) + N2(A),+,+,8.3.4 用描述函数法分析非线性系统,一非线性系统结构如图815所示

10、，假定输入为零，图中N（A）为非线性环节的描述函数，若 ,则,X1,X1,X2,X2,Y,图815 非线性系统,式中: 假定:,则： 如果 等于X2(t)，则意味着产生了自激振荡， 即 ：,（8-35）,（8-36）,综合公式（835）（836）可得出系统产生自激振荡的条件为,（8-37）,由公式（837），将乃魁斯特判据推广应用于非线性系统，可判断系统运动稳定性：线性部分为最小相位系统，若轨线 不包围轨线 ，则系统是稳定的，若轨线 包围轨线 ，则系统是不稳定的，若 与 相交，则意味着系统会产生自激振,荡，交点处 曲线所对应的角频率 为自激振荡的角频率，交点处 所对应的幅值A为自激振荡的振幅值

11、。 图817所示 与 的相互关系曲线,Im,Im,Re,Re,(a),(b),(c),Im,Im,Re,Re,(d),a,a,a,b,b,b,图817 曲线与 曲线相互关系,8.4 相平面法,8.4.1 相轨迹及其绘制方法 8.4.2 奇点与极限环 8.4.3 用相平面法分析非线性系统,8.4.1 相轨迹及其绘制方法,对于一任意二阶非线性微分方程 x + f(x, x)= 0 令 x1 = x , x2 = x1 = x 则 x1 = x2 , x2 = -f ( x1 ,x2 ) 写成一般形式有 x1 = P ( x1, x2 ) x2 = Q (x1 ,x1 ),.,.,.,.,.,.,.

12、,（8-23）,于是有 若 ， 是解析的，在以x1为横坐标轴，x2为纵坐标的平面上绘制一条x2与x1的关系曲线，我们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹组成的图像称为相平面图。而式（824）是相轨迹上某点处切线的斜率。 相轨迹上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。,（8-24）,令 联立求解出的点 称为系统平衡点。 由式 可知，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。,（8-25）,（8-26）,等倾线法 由式（824）有 如果令 为一常数 。 则 根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相,（8-27）,同，我们称之为等

13、倾线。如果取不同的值， 则可在相平面上绘制一系列的等倾线。如图818所示。,图818 用等倾线法绘制相轨迹,（x10,x20),8.4.2 奇点与极限环,奇点 奇点即为系统平衡点，它由方程组 联立求解得到 将 在平衡点附近展开成台劳 级数。忽略高阶无穷小， 且x10 x200，,（8-28）,则有 令,（8-29）,则有 X1 = aX1 + bX2 X2 = cX1 + dX2 系统特征方程 特征方程的根为 根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况,.,.,（8-30）,（8-31）,（8-32）,1) 同号相异实根 此时 ,当 时，奇点称为稳定的结点，当 时，奇点称为不稳定的结点，如

14、图8-19（a),（b）所示。,(a) 稳定结点,（b）不稳定结点,图8219 特征方程根为同号相异实根相轨迹,异号实根 此时 ， 奇点称为鞍点。相轨迹形状如图820所示。,3） 重根 此时，,若 ，此时称奇点为退化的稳定结点， 若 ，奇点称为退化的不稳定结点，对应的相 轨迹如图821所示。,图820 鞍点对应的相轨迹,(a),(b),图821 重根对应的相轨迹,此时 ，若 ，奇点称为稳定焦点。 若 ，奇点称为不稳定的焦点，如图822所示。,4） 共轭复根,(a),(b),图822 共轭复根对应的相轨迹,5） 纯虚根 此时， ，奇点称 为中心点，对应的相轨迹如图823所示。,图823 虚根对应

15、的相轨迹,2. 极限环 相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应的系统会产生自激振荡。如图824所示。 极限环有稳定的，不稳定的和半稳定的。如图8-25(a)(b),(c)所示。,图824 极限环,(a) 稳定的极限环,(b) 不稳定的极限环,(c) 半稳定的极限环,图8-25 极限环,8.4.3 用相平面法分析非线性系统,用相平面法分析非线性系统的步骤如下： 1.根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立每个区 域的线性微分方程来描述系统的运动特性； 2. 根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴，通常 为，或作为相平面的坐标轴；,3.根据非线性特性建立相平面上切换线方程，必须注意

16、的 是，切换线方程的变量应与坐标轴所选坐标变量一致； 4. 求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹;； 5. 平滑地将各个区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相 轨迹。据此可用来分析非线性系统的运动特性。,例： 如图8-26所示非线性控制系统在t 0时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初始状态为，问经过多少秒，系统状态可到达原点。,r,e,x,1,1,u,y,-,图8-26 继电控制系统,解：列写运动方程,2y = u,e+e 0 e+e 0,.,.,又,y= -e,.,.,于是有,e=,-0.5 , e +e 0 0.5 , e +e 0,.,.,区域（1）：,e= -0.5 e= -0.5 + c1 e= -0.25t2 + c1t + c2,.,.,代入初始条件,e= -0.5t e= -0.25t2 + 6 e= -e2 + 6,.,.,相轨迹为一抛物线，如图8-27所示系统从A出发到达B点，进入区域（2）。B点坐标可求得,e = -2 , e = 2,B,B,区域（2）：,e= 0.5 e= 0.5t2 + c3 e= 0.25t2 + c3t +c4,代入初始条件求得,C(1,1),B(2,2),A(0,6),（1）,（2）,图 8-27,.,.,.,e= 0.5t 2 e= 0.25t2