线性系统的根轨迹法.ppt

1、第四章 线性系统的根轨迹法,本章主要内容与重点 根轨迹方程 根轨迹绘制的基本法则 根轨迹系统的性能分析,本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,以及利用根轨迹如何分析控制系统的性能。,本章重点,本章主要内容,学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统性能,4-1 根轨迹基本概念,一、根轨迹 开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。,若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。稳定性由闭

2、环极点决定，系统的性能与闭环零极点 分布有关，零极点由根轨迹给出，也就给出了系统时间响应的全部信息，可以指明开环零极点如何变化可以满足系统的性能要求，同时可以求出系统的近似根。,例 : 分析 二阶系统的根轨迹与 系统性能的关系,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,K=1,K=2.5,二、根轨迹与系统性能 稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。K由0变到无穷根轨迹未进入S平面右半平面，可知系统稳定。（什么时候出现 临界开环增益） 稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益

3、，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。分析上例系统的根分布在虚轴的左侧系统是稳定的。 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。分析上例,0K0.5 特征根为实数过阻尼系统响应无超调，有非周期性,K=0.5 临界阻尼状态响应是单调上升 K0.5根为一对复根，欠阻尼状态阶跃响应为衰减振荡超调随k增大而增大。 K=1最佳阻尼状态 K1平稳性变差 所以绘制出系统的根轨迹即可分析系统的性能。,对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。 根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。 三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,设 控制系统如图所示,和

4、,：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益,开环系统根轨迹增益与开环增益之间相差一个比例常数,结论： （1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环系统前向通道系统 根轨迹增益。 （2）闭环系统的零点由 开环前向通道传递函数的零点和 反馈通道传递函数的极点所组成。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。,根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。 四、根轨迹方程,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。 根轨迹变化的参数不一定是参数 也可使其他参数,根轨迹方程,根轨迹方程可以进一步表示为（实质是向量方程）,相角条件

5、（幅角条件）：（充分必要条件）,模值条件（幅值条件）：,4-2 根轨迹绘制的基本法则,可变参数为根轨迹增益,相角条件： 180o根轨迹,规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 简要证明：,又从,在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。,规则2：根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）,系统有n个根所以K变化时s平面有n条轨迹（nm) 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。根轨迹是对称的，作图时只需一半根据

6、对称性可以做出另一半。,规则3：根轨迹渐近线 当 nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,证明如下,渐近线是s很大时系统的根轨迹， 采用长除法,S很大时，省略高次项上式近似为,上式按二项式展开略去高次项,方程两边实部和虚部分别相等即可求出下式,渐近线是n-m条与实轴交点 为交角为 的一组射线,例1 设单位反馈系统的前向传递函数为，利用上述法则确定相关数据,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线,与实轴夹角,与实轴交点,规则4：实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨

7、迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。,设开环零极点分布如图， s0为一测试点。,j,z1,z3,s0,z2,p3,p2,p0,p4,利用向角条件分析,是各开环零点到测试点的相角。 是开环极点到测试点的相角。,1、由图可见复数共轭极点到实轴任意一点相角和为2 共轭零点也如此。可以不考虑其影响。 2、测试点左侧的开环实数零极点到测试点的相角为零，右侧的开环实数零极点到测试点的相角为 ，,由相角条件,规则5：根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方

8、程所决定：,或,注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。 （2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。 （4）l条跟轨迹分支进入并离开分离点时分离角由（2k+1） /l决定，k=1,2,3,.,l-1; 分离角是根轨迹进入分离点的切线方向与实轴夹角的正方向。 例 2 绘制图示系统大致的根轨迹,解（1）开环零点 开环极点 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。,（2）实轴上根轨迹 （3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点 （4）分离点（用试探法求解）,规则6：根轨

9、迹的起始角（出射角）和终止角（入射角） 起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。 终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角 。,设系统m个开环零点n个开环极点靠近起始角处取点s1另s1无限接近极点pi除pi外所有开环零极点到s1的向量角，,同理有,规则7：根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（ ）确定。,例5 设系统开环传递函数,试绘制系统大致的根轨迹。,方法1利用劳斯判据：与虚轴相交系统处于,临界稳定，令劳斯表第一列含K 的项为零，确定K值利用偶次项，构造辅助方程求解， 方法2：s=jw带入闭环特

10、征方程另虚部和实部为零求解。 参见实例。,解（1）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹-3，0。 （2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点,（3）分离点,（4）起始角（出射角）,（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据,由第一列、第四行元素为零,由辅助方程,方法2：s=jw带入特征方程有实部 虚部方程,规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向,-1+j,-1-j,1,-1,若开环传递函数的积分环节个数,结论：（1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常

11、数。 （2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。,闭环极点的确定,对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。 根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。 例6 确定 K*=4 的闭环极点。,因为已知分离点,-1+j,-1-j,1,-1,于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点,另外两个根可以从特征方程求出,4-3系统性能的根轨迹分析,一、系统性能的定性分析 闭环系统零点和极点对时间响应性能的影响。 （1）稳定性：闭环极点分布在s左半平面即可，与闭环零点无关。 （

12、2）运动形式：闭环系统无零点，闭环极点均为实数响应一定是单调的，闭环极点均为复数响应一般是振荡的。 （3）超调量 ：主要取决于复数主导极点衰减率 或阻尼比与其它闭环零极点接近原点的程度有关.,（4）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环的复数极点实部绝对值，如实部极点离虚轴最近且附近无零点，则调节时间取决其模值。 （5）实数零极点影响：零点减小系统阻尼超调增大峰值时间提前，极点增大系统阻尼峰值时间滞后，超调减小，离原点越近作用越强。,（6）偶极子处理：零极点之间的距离接近，并且它们之间的距离比它们本身距离小一个数量级，可以约去，但是它们接近原点时必须考虑。,二、附加开环零点的作用 1. 附加适当的开

13、环零点可以改善系统的稳定性。 设开环传递函数为,附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。,令 为不同的数值，对应的根轨迹见下一页图所示： （a）无开环零点；（b） ；（c） （d）,-1+j,-1-j,图a,j,-1+j,j,-1-j,图b,-3,-1+j,j,-1-j,图c,-2,-1+j,j,-1-j,图d,图形与零点变化的关系,结论：开环极点不变附加负实数零点使系统的根轨迹向 S左半平面弯曲，或发生趋向附加零点方向变形，这种影响随开环零点接近原点而加强，上述结论对有共轭负实部零点同样适用。,2 . 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。,结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。,3. 稳定性与动态性能对附加开环零点位置要求有时不一致。,例：,例：已知开环传函绘制根轨迹及临界稳定时,