3.4.1基本不等式的证明.ppt

1、,3.4 基本不等式（第一课时）,授课班级：高一（2)班 授课人： 杜佳秀,同学们比较事物间的相等关系和不相等关系是我们一种非常重要的逻辑思维能力，在我们的数学中存在许许多多的相等关系和不相等的关系，例如：,正数 负数,其实这样的相等关系和不相等关系还有很多，今天，让我们一起去探索两个非常重要的不等式。,2002年国际数学家大会会标,三国时期吴国的数学家赵爽的弦图,创设情境，导入新知,a,b,1、正方形ABCD的面积 S=,、四个直角三角形的 面积和 S =,、S与S有怎样的不等关系？,SS,那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号

2、成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,1.,2取“ = ”的条件：,重要不等式,定理：如果 ，那么 (当且仅当 时，等号成立）,那么a2+b22 a b,那么a + b 2,（当且仅当 a=b 时，等号成立）,若aR,bR,若 a0，b0,运用新知、深入探究,探究2：,当 时，能用 、 分别代替 中的 、 吗？会得到什么结果？,证明：,要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,探究3,注意：1大前提： a, b 均为正数。,2.

3、 我们把不等式 (a0, b0) 称为基本不等式。,算术平均数,几何平均数,基本不等式,1.两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。,2.两个正数的等差中项大于或等于它们正的等比中项。,我们可以通过弦图给以几何解释， 那么 也能有它合理的几何解释吗？,探究4：,1、圆的半径大于或等于它的弦长的一半。,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点,设AC=a,CB=b,过点C作垂直于直径AB的弦DE，连结线段AD与BD, 则半径 =,CD = ,2、直角三角形斜边上的中线大于或等于它的高。,基本不等式：,注意： (1)不等式的适用范围.,(2)当且仅当a=b时，等号成立.,(3)公式变形：,当

4、且仅当a=b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,积定和最小，和定积最大.,例：请判断下列表述的正误。,（基本不等式的适用范围）,（基本不等式的取等条件）,（基本不等式的灵活使用）,学以致用，小试牛刀,小结: 应用基本不等式时要注意“ 一正、二定、三相等”,点评：用基本不等式求最值, 必须注意“=”成立的条件。 如果取等号的条件不成立, 表示不能取到该最值。,小结: 应用基本不等式时要注意“ 一正、二定、三相等”,例.下列函数的最小值为2的是（ ）,D,学以致用、巩固提高,1.两个不等式 (1)重要不等式：如果a, bR, 那么a2+b22ab (当且仅当a=b时取“=”号). (2) 注意 注意公式适用范围,前者要求a, b为实数; 后者要求a, b为正数. 注意“=”的成立条件. 2.不等式的简单应用：主要在于求最值.,五、课堂小结，巩固新知,应用基本不等式时要注意“ 一正、二定、三相等”,1.已知x1, 求 x+ 的最小值.,2.已知0x1, 求x(1-x)的最大值.,基础题