D16两个重要极限;17无穷小的比较.ppt

1、1,纠正作业,2,3,则有,(B0 ),推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),温故知新：,4,1)直接用四则法则；,2) 恒等变形后用四则法则,3)利用无穷小的性质;,无限项:,约去零因式,通分,分子分母有理化,3. 求极限的基本方法,抓大头,4)无穷小与无穷大的关系法;,5)复合函数的极限运算法则(变量代换法);,化无限为有限法,6)利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数);,7)利用夹逼准则和单调有界准则.,性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,5,第六节 极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ；单调有界准则,6,1

2、. 夹逼准则,准则 ：单调有界数列必有极限.,2.单调有界准则,一、极限存在准则,7,二、两个重要极限,设单位圆O，,圆心角,作单位圆的切线,8,注意：,2) 作用：,9,解：,解：,1.,=1,例1.,求,例2.,例3.,解：,10,例4.,解：,思考 ：,11,我们从三方面来认识这个极限：,1)函数：,第二项与指数互为倒数.,2)极限过程是：,指数,3)极限值,= e,(e=2.718281828459045),括号内第一项是1，,中间是“+”号，,该极限的证明省略,如:,12,例5.,解:,13,思考与练习.,解:,解:,14,练习,15,两个重要极限:,16,第一章,都是无穷小,第七节

3、,引例：,但,无穷小的比较,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,两个无穷小比值的极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,17,1.定义:,注：,判断无穷小的阶,实际上就是求极限.,18,注意：,1.无穷小的比较是无穷小与无穷小比较的；,2. 零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的;,3.无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的;,4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；,5.有两个重要的符号,例如,19,证:,即有等价关系:,上述证明过程也给出了关系:,例1. 证明:,说明:,20,证:,必要性,充分性,意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式,2.等价无穷小的性质,例如：,2

4、1,(自反性),(对称性),(传递性),P60 T5,说明1:等价无穷小的其它性质：,说明2:常用等价无穷小:,22,定理2 (等价无穷小代换定理),证：,说明：,即定理条件满足时,可以只代换无穷小的分子或分母.,即定理条件满足时,可以代换积中因式的无穷小.,23,例2.求,解:,例3.求,解:,24,只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对于,代数和中各无穷小不能分别等价代换.,切记:,补例:,解:,错,解:,25,内容小结,1) 两个重要极限：,2)无穷小的比较：,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,26,3)等价无穷小代换定理：,4)常用的等价无穷小：,5)注意事项：,求极限时只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对代数和中无穷小不能随意等价代换.,6)新增求极限的方法：,8.重要极限法，,9.等价无穷小代换法,注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.,作业:P