大学高数一主要内容概述

1、1第1章第1章第3章第3章1 .限制1 .极限序列lim n n函数lim() x f x，lim() x f x，lim() x f x 0 lim() xx f x，0 lim() xx f x，0 lim() xx f x求极限(主要方法):(1 00 sin 1 lim1，lim (1)，lim(1)x XXX x exe xx()等价无穷小代换。2 () () sin()、tan()、arcsin()、arctan()、11cos()、ln (1()、ln (0)xxxxxXxx xxxxex axa axx替代应注意，只有产品因素可以替代。(Robida规则(000，0，0，1，0

2、)，只有0，0可以直接使用Robida规则。指数函数求极限：()lim()ln()lim()v x v Xu x xe；或者，让()()v xyu x，两边取对数ln()ln ()yv xu x，如果lim ()ln ()v xu xa，那么()lim ()v x a u xe。结合变量上限函数求极限。结合变量上限函数求极限。第二，连续0 0 lim()() xx f xf x左右连续0000 lim()()lim()()xxxx f xfx函数连续函数是左右连续的。闭区间上连续函数的性质：最大值、有界性、零点(结合证明)、中间值、推论。三阶导数3，导数0 000 0 0 0 0()()()(

3、)()()()(Limmxxxf xfxfxf fxxxx左导数0 000 000()()()()(Limmxxxf xfxf fxxxx右导数0 000 000()()()()()()()(Limmxxxf xfxf fxxxx微分)(YaxxdAy dx可连续微分可左导数和右导数： (复合函数链规则()(dydy du yf uug)请注意，y和y是x的函数。(3)参数方程的推导()()()/(Dydy DXT XYT DXDTT 22()()()()()(DTDDY DYTT DX DXT DT IV)。衍生物的应用。导数的应用()罗尔定理和拉格朗日定理(证明问题) ()单调性(导数符号

4、)、极值()(3)凹凸性(二阶导数符号)、拐点(曲线上的点、二维坐标、该点两侧凹凸不同的曲线)。第4章第4章不定积分不定积分原函数()()(F xf x不定积分()(f x dxF xC基本性质()(d F x dxF x dx or()(df x dxF x dx()(F x DxF Xc or()。dF xF xC ()() dxdxd()()f xg xf xg xx(部分积分)d()d)k f Xkf xx基本积分公式(1)dk XkXc；(2)1 1(1d)1 XXCc 3(3)1 ln | | DxXc x(4)dx xx EEc(5)x ln d x a Ac a(6)dco s

5、sinx XxC(7)dsin cosx XxC(8)2 sectadnx XxC(9)2 dcsc cot XxC(10)dsxec trans secXcc(11)dxcc(12)2 acrossin 1 dxc(13)2 arctan 1 dxctanln | cos |xdxxC 2。cotln | sin |xdxxC 3。secln | sectan |xdxxxC 4。cscln | csccot |xdxxxC 5。22 11 arctanx dxC axaa 6。22 arcsindxx cAx 7。2211 ln；2 xa dxC xaaxa 8。22 22 ln |。不定

6、积分方法1直接积分方法：常数变形，利用不定积分的性质，直接利用基本积分公式。2代换方法：第一种代换方法(微分法)()()()()()()()()()()(d)。fxxxf u duF uCFxC第二种代换法(变量代换法)()()()()()()。ddf xxftttF tCFxC(注意后代)主要有部首替换，逆代换3按部件积分uv dxudvuvvduuvu vdx反幂三指dx 4第5章定积分第5章定积分1。概念1。定义01 1(lim)，最大n b iii ai n I f x dxf xx 2。性质：如果xf和xg在ba上是可积的，那么定积分具有以下性质。(1) abdx b a (2)。b

7、 a b a b a dxgndxfmdxgnxmf()(；(3)。b c c a b a dxfdxxfdxfxf()()(；(4)。如果开，a b，0 xf，那么0(b)a DXF；推论1。如果开，a b，f xg x，那么()bbaa f x dxg x dx推论2。b a b a dxfdxf |)(| |)(|(ab)(5)。如果函数xf在区间ba和Mxfm上是可积的，那么()()(AbmdxFabm ba(6)。(定积分中值定理)如果xf在区间ba上是连续的，那么就有ba，这使得abfdxfxf b a(3。积分上限函数()x a f t dt及其性质(1) xfdtf x a()

8、(，或xfdtfddx d x a) (2) if) (0 )(x dttfx，则)()(0 x dttfx xxf。(3)。如果()()()x xft dt，那么()()()x xf t dt fxx fxx.4 .广义积分(1)无限极限积分a f x dx lim t在f x dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)5 b dxxf lim b tt f x dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)DXF收敛的充要条件是不适当的积分0 f x dx和0 f x dx同时收敛，存在DXF 0缺陷积分a是缺陷lim bb aa ta f x dxf x dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)b是缺

9、陷lim bb aa tb f x dxf x dx收敛(极限存在)发散(极限不存在)c是缺陷b a dxxf收敛c a dxxf和b c dxxf都收敛。当收敛时，有b a dxxf c a dxxf b c dxxf 2。计算2。计算(1)定积分的计算1。微积分基本公式：让函数xf在区间ba中是连续的，然后xfxfxf，然后AFBFDXxf ba()，牛顿-莱布尼茨(n-L)公式2，代换方法：让函数xF在区间BA A，b，当，t，bax，然后dtttfdxfxf b()3。按零件积分：| bb b a aa uvdxuvuvvdx，或| bb b a aa udvuvvdu 4，偶数零：如

10、果函数xf在区间aa上是连续的，则00(2)(a a a a a fxf x f x DXF x f x)！12(！)！2(2！)！2(！)！12(kn kn k k k 6k 6，分段函数的定积分。(2)与积分上限函数有关的计算(3)广义积分的计算(先求原始函数，然后根据定义求极限)3。定积分的应用。定积分的应用(1)几何应用1。平面图面积(1)笛卡尔坐标BA(DXD)、BA AF XA(上曲线和下曲线)，或(Y)、Dyd dd cc AyA(右曲线和左曲线)(2)参数方程，如()()xt yt，由xa xb和x轴()所围成的面积()Att dt，分别是曲线边起点横坐标和终点横坐标的参数值。

11、(3)21区()。2极坐标中曲线()，()rr所包围的弯曲扇形的Ard 2，旋转体的体积(1)直角坐标：由曲线()，()yf x xa xb ab和旋转体的体积22()定义，旋转体的体积22()由绕x轴旋转一次的x轴所包围。bbaa vy dxfxdx由曲线()，()xyyc yd cd和旋转体的体积表示，该旋转体具有由绕y轴22旋转一次的y轴包围的弯曲梯形。dd cc Vx dyy dy (2)参数方程用()()xt yt和表示，体积2() ()Vtt dt 3，平面曲线的弧长(积分极限从小到大)(1)直角坐标2 1(b)sfxdx(2)参数方程22 ()()sx ty tdt (3)极坐标

12、22 () () Srrd (2)物理应用(步骤：建立坐标系，选择积分变量，找到功或压力的微分元素，并确定积分)7第6章第6章微分方程微分方程内容概述：(1)概念：微分方程；秩序；通用解决方案；特殊解决方案；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关(2)，解的结构是齐次线性()()(0(*)YpYqY非齐次线性()()(*)YpYqYF1，12，yy是(*)的解，那么1122 YC Y也是(*)的解；如果12，yy是线性独立的，那么1122 YC Y是(*)2的通解，12 *，*yy是(* *)的解，那么12 *yy是齐次线性方程的通解，Y是(* *)的解，那么*yy是(* *)一阶，二阶。其次

13、，求解一阶微分方程。其次，求解一阶微分方程。1.可分离变量方程()()yf x g y或1122()()()()(0Mx N y DyMx Ny dx解：首先分离变量，然后同时对两边进行积分。2.齐次方程(YF)X解：设，Y u x是余旭或(dxx f dyy解：make，X u y dxdu u dydyy3，一阶线性微分方程齐次线性()()0() P x dx yP x yyCe非齐次线性()()()()P x dxP x dx yP x yQ xyeQ x edx C求解三阶和二阶微分方程(I)，降阶情况1。()yf x 2。没有y(，)yf x y解的二阶方程：(，)ypyppf x p使原始方程变成8 3。无x(，yf y y解的二阶方程：)dpdpdpdpyppf y pdydy使原方程变为(2)，二阶线性微